【题目】如图①,在菱形中, ,.点从点出发以每秒2个单位的速度沿边向终点运动,过点作交边于点,过点向上作,且,以、为边作矩形.设点的运动时间为(秒),矩形与菱形重叠部分图形的面积为.
(1)用含的代数式表示线段的长.
(2)当点落在边上时,求的值.
(3)当时,求与之间的函数关系式,
(4)如图②,若点是的中点,作直线.当直线将矩形分成两部分图形的面积比为时,直接写出的值
【答案】(1);(2) ;(3) ;(4) 或 .
【解析】
(1)由菱形性质得∠D=∠B=60°,AD=AB=CD=4,△ACD是等边三角形,证出△APQ是等腰三角形,得出PF=QF,PF=PAsin60°=t,即可得出结果;
(2)当点M落在边BC上时,由题意得:△PDN是等边三角形,得出PD=PN,由已知得PN=PQ=3t,得出PD=3t,由题意得出方程,解方程即可;
(3)当0<t≤时,PQ=2t,PN=PQ=3t,S=矩形PQMN的面积=PQ×PN,即可得出结果;当<t<1时,△PDN是等边三角形,得出PE=PD=AD-PA=4-2t,∠FEN=∠PED=60°,得出NE=PN-PE=5t-4,FN=NE=(5t-4),S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积,即可得出结果;
(4)分两种情况:当0<t≤时,△ACD是等边三角形,AC=AD=4,得出OA=2,OG是△MNH的中位线,得出OG=4t-2,NH=2OG=8t-4,由面积关系得出方程,解方程即可;
当<t≤2时,由平行线得出△OEF∽△MEQ,得出,即,解得EF=,得出EQ=,由三角形面积关系得出方程,解方程即可.
(1)∵在菱形ABCD中,∠B=60°,
∴∠D=∠B=60°,AD=AB=CD=4,△ACD是等边三角形,
∴∠CAD=60°,
∵PQ⊥AC,
∴△APQ是等腰三角形,
∴PF=QF,PF=PAsin60°=2t×=t,
∴PQ=2t;
(2)当点M落在边BC上时,如图2所示:
由题意得:△PDN是等边三角形,
∴PD=PN,
∵PN=PQ=×2t=3t,
∴PD=3t,
∵PA+PD=AD,
即2t+3t=4,
解得:t=.
(3)当0<t≤时,如图1所示:
PQ=2t,PN=PQ=×2t=3t,
S=矩形PQMN的面积=PQ×PN=2t×3t=6t2;
当<t<1时,如图3所示:
∵△PDN是等边三角形,
∴PE=PD=AD-PA=4-2t,∠FEN=∠PED=60°,
∴NE=PN-PE=3t-(4-2t)=5t-4,
∴FN=NE=(5t-4),
∴S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积=6t2-2××(5t-4)2=-19t2+40t-16,
即S=-19t2+40t-16;
(4)分两种情况:当0<t≤时,如图4所示:
∵△ACD是等边三角形,
∴AC=AD=4,
∵O是AC的中点,
∴OA=2,OG是△MNH的中位线,
∴OG=3t-(2-t)=4t-2,NH=2OG=8t-4,
∴△MNH的面积=MN×NH=×2t×(8t-4)=×6t2,
解得:t=;
当<t≤2时,如图5所示:
∵AC∥QM,
∴△OEF∽△MEQ,
∴,即,
解得:EF=,
∴EQ=,
∴△MEQ的面积=×3t×()=×6t2,
解得:t=;
综上所述,当直线OM将矩形PQMN分成两部分图形的面积比为1:2时,t的值为或.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018,如果点A的坐标为(1,0),那么点B2018的坐标为( )
A. (1,1) B. (0,) C. () D. (﹣1,1)
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【题目】两幢大楼的部分截面及相关数据如图,小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾,此时A,E,F在同一直线上.跑到一楼时,消防员正在进行喷水灭火,水流路线呈抛物线,在1.2m高的D处喷出,水流正好经过E,F. 若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同,现消防员将水流抛物线向上平移0.4m,再向左后退了____m,恰好把水喷到F处进行灭火.
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【题目】在正方形ABCD中,AB=8,点P在边CD上,tan∠PBC=,点Q是在射线BP上的一个动点,过点Q作AB的平行线交射线AD于点M,点R在射线AD上,使RQ始终与直线BP垂直.
(1)如图1,当点R与点D重合时,求PQ的长;
(2)如图2,试探索: 的比值是否随点Q的运动而发生变化?若有变化,请说明你的理由;若没有变化,请求出它的比值;
(3)如图3,若点Q在线段BP上,设PQ=x,RM=y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.
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【题目】某校开展拓展课程展示活动,需要制作A,B两种型号的宣传广告共20个,已知A,B两种广告牌的单价分别为40元,70元
(1)若根据活动需要,A种广告牌数量与B种广告牌数量之比为3:2,需要多少费用?
(2)若需制作A,B两种型号的宣传广告牌,其中B种型号不少于5个,制作总费用不超过1000元,则有几种制作方案?每一种制作方案的费用分别是多少?
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上一点,于点Q,过点B作半圆O的切线,交OQ的延长线于点P,PA交半圆O于R,则下列等式中正确的是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,2),二次函数y=x2+bx﹣2的图象经过C点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)平移该二次函数图象的对称轴所在直线l,若直线l恰好将△ABC的面积分为1:2两部分,请求出此时直线l与x轴的交点坐标;
(3)将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折180°,得到△AB′C,那么在二次函数图象上是否存在点P,使△PB′C是以B′C为直角边的直角三角形?若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在一只不透明的盒子里有背面完全相同,正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片,小马从中随机地抽取一张,把卡片上的数字作为被减数;在另一只不透明的盒子里将形状、大小完全相同,分别标有数字1、2、3的三个小球混合后,小虎从中随机地抽取一个,把小球上的数字做为减数,然后计算出这两个数的差.
(1)请你用画树状图或列表的方法,求这两数差为0的概率;
(2)小马与小虎做游戏,规则是:若这两数的差为非正数,则小马赢;否则小虎赢.你认为该游戏公平吗?请说明理由.
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