Question

（2005•武汉）已知：如图，直线交x轴于O₁，交y轴于O₂，⊙O₂与x轴相切于O点，交直线O₁O₂于P点，以O₁为圆心，O₁P为半径的圆交x轴于A、B两点，PB交⊙O₂于点F，⊙O₁的弦BE=BO，EF的延长线交AB于D，连接PA、PO．
（1）求证：∠APO=∠BPO；
（2）求证：EF是⊙O₂的切线；
（3）EO₁的延长线交⊙O₁于C点，若G为BC上一动点，以O₁G为直径作⊙O₃交O₁C于点M，交O₁B于N．下列结论：①O₁M•O₁N为定值；②线段MN的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通过度数来求两角相等．连接O₂F，那么∠O₂PF=∠O₂FP=∠OBP，因此O₂F∥AB，这样可得出圆O₂的圆心角∠OO₂F=90°．因此∠OPF=45°，那么∠APO=90°-45°=45°，因此两角相等．
（2）由于（1）中得出了O₂F∥AB，因此只要证得DE⊥AB，就能得出DE⊥O₂F，也就得出了DE是圆O₂的切线的结论，那么关键是证明DE⊥AB．可通过垂径定理来求．延长ED交⊙O₁于点H，那么就要求出DE=DH或BE=BH，那么就要先求出∠BEH=∠BHE．连接PE，那么∠BHE=∠EPB，那么证∠EPB=∠DEB即可．可通过相似三角形BEF和BPE来求得，这两个三角形中，已知了一个公共角，我们再看夹这个角的两组对边是否成比例．由于BO²=BF•BP，而BO=BE，因此BE²=BF•BP，由此可得出两三角形相似，进而可根据前面分析的步骤得出本题的结论．
（3）MN的长度不变．这是因为点G是BC上的一个动点，但的O₁C长度是不变的，它等于⊙的半径8，另外∠BO₁C的大小也是始终不变的，因为所有的⊙O₃都是等圆，故弧MGN也都是相等的，故弦MN都是相等的，求MN的长，可通过构建全等三角形来求解，过N作⊙O₃的直径NK，连接MK，那么三角形NKM和EDO₁全等，那么只要求出DE的长即可，根据直线的解析式，可得出O₁，O₂的坐标，也就求出了OO₁，OO₂的值，也就能得出圆O₁的半径的长，进而可求出AD，BD的长然后根据DE²=AD•DB即可得出MN的值．
解答：解：（1）连接O₂F．
∵O₂P=O₂F，O₁P=O₁B，
∴∠O₂PF=∠O₂FP，∠O₁PB=∠O₁BP，
∴∠O₂FP=∠O₁BP．
∴O₂F∥O₁B，
得∠OO₂F=90°，
∴∠OPB=∠OO₂F=45°．
又∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴∠APO=∠BPO=45°．

（2）延长ED交⊙O₁于点H，连接PE．
∵BO为切线，
∴BO²=BF•BP．
又∵BE=BO，
∴BE²=BF•BP．
而∠PBE=∠EBF，
∴△PBE∽△EBF，
∴∠BEF=∠BPE，
∴BE=BH，有AB⊥ED．
又由（1）知O₂F∥O₁B，
∴O₂F⊥DE，
∴EF为⊙O₂的切线．

（3）MN的长度不变．
过N作⊙O₃的直径NK，连接MK．则∠K=∠MO₁N=∠EO₁D，
且∠NMK=∠EDO₁=90°，
又∵NK=O₁E，
∴△NKM≌△EDO₁，
∴MN=ED．
而OO₁=4，OO₂=3，
∴O₁O₂=5，
∴O₁A=8．即AB=16，
∵EF与圆O₂相切，
∴O₂F⊥ED，
则四边形OO2FD为矩形，
∴O₂F=OD，又圆O₂的半径O₂F=3，
∴OD=3，
∴AD=7，BD=9．
ED²=AD•BD，
∴ED=3．
故MN的长度不会发生变化，其长度为．
点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系，全等三角形，相似三角形的判定和性质以及一次函数等知识点的综合应用．图中边和角较多，因此搞清楚图中边和角的关系是解题的关键．