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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，矩形OABC的顶点O为原点，点E在AB上，把△CBE沿CE折叠，使点B落在OA边上的点D处，点A、D坐标分别为（10，0）和（6，0），抛物线y=
    1
    5
    x2+bx+c    过点C、B．
    （1）求C、B两点的坐标及该抛物线的解析式；
    （2）如图2，长、宽一定的矩形PQRS的宽PQ=1，点P沿（1）中的抛物线滑动，在滑动过程中PQ∥x轴，且RS在PQ的下方，当P点横坐标为-1时，点S距离x轴
    11
    5
    个单位，当矩形PQRS在滑动过程中被x轴分成上下两部分的面积比为2：3时，求点P的坐标；
    （3）如图3，动点M、N同时从点O出发，点M以每秒3个单位长度的速度沿折线ODC按O→D→C的路线运动，点N以每秒8个单位长度的速度沿折线OCD按O?C?D的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动．设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S．①求出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围：②设S0是①中函数S的最大值，那么S0=
     
    ．
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    分析：（1）本题可根据折叠的性质进行求解．根据折叠的性质可知：CD=BC=OA，可在直角三角形OCD中用勾股定理求出OC的长，即可求出C、B的坐标，将这两点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．
    （2）先根据x=-1时，P的纵坐标求出PS的长即矩形的长，然后根据矩形被x轴分成上3下2两部分，可求出此时P点的纵坐标，代入抛物线中即可求出P点的坐标．
    （3）一：本题要分三种情况进行讨论：
    ①当0≤t≤1时，此时N在OC上．M在OD上．可用t表示出OM、ON的长，进而可求出S、t的函数关系式．
    ②当1＜t≤2时，此时N在CD上，M在OD上．过N作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，用ND的长求出△OMN的高，而后同①．
    ③当2＜t≤
    24
    11
    时，此时，N、M均在CD上．先用t表示出NM的长，然后过O作OH⊥CD于H，在直角三角形OCH（或ODH）中，用OC的长和∠OCD的正弦值求出△OMN中NM边上的高．
    二：根据一的函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值．
    解答：解：（1）∵A（10，0），D（6，0），
    ∴OA=10，OD=6，
    又∵四边形OCBA为矩形，
    ∴∠COA=∠BAO=90°OC=AB=BC=OA=10．
    又∵△CED为△CBE沿CE翻折得到的，
    ∴CD=CB=10，
    ∴在Rt△COD中，由勾股定理得：OC=
    		CD2-OD2
    =8．
    ∴C（0，8），B（10，8），
    又∵C、B均在y=
    1
    5
    x2+bx+c上，
    ∴
    c=8
    100×
    1
    5
    +10b+c=8
    ，
    ∴
    c=8
    b=-2
    ，
    ∴y=
    1
    5
    x2-2x+8；

    （2）当x=-1时，y=
    1
    5
    ×（-1）2-2×（-1）+8=
    51
    5
    ，
    ∴此时P（-1，
    51
    5
    ），
    又∵S距离x轴上方
    11
    5
    个单位，
    ∴PS=
    51
    5
    -
    11
    5
    =8，
    ∴矩形PQRS的长为8，宽为1，
    设PQRS在下滑过程中交x轴分别于G、H两点．
    则由题意知：
    S矩形PQHG
    S矩形HGSR
    =
    2
    3
    ，
    ∴
    PG
    GS
    =
    2
    3
    ，
    ∴PG=
    2
    5
    PS=
    16
    5
    ．
    故P的纵坐标为
    16
    5
    ，
    ∴设P（a，
    16
    5
    ），则
    1
    5
    a2-2a+8=
    16
    5
    ，
    ∴a1=4，a2=6，（1分）
    ∴P（4，
    16
    5
    ）或（6，
    16
    5
    ）；

    （3）∵点M的速度是每秒3个单位长度，点N的速度是每秒8个单位长度，
    ∴3t+8t=6+8+10，
    解得t=
    24
    11
    ，
    ①当0≤t≤1时，此时N在OC上．M在OD上．
    ∴S△OMN=
    1
    2
    OM•NH=
    1
    2
    ×3t×8t=12t2精英家教网，
    此时，当t=1时，S大=12，
    ②当1＜t≤2时，此时N在CD上，M在OD上．
    则DN=18-8t，
    过N作NH⊥OD于H，
    则
    NH
    ND
    =sin∠CDO=
    OC
    CD
    =
    4
    5
    ，
    ∴NH=
    4
    5
    DN=
    4
    5
    （18-8t）=
    8
    5
    （9-4t）．
    ∴S△OMN=
    1
    2
    OM•ON，
    =
    1
    2
    ×
    8
    5
    （9-4t）×3t，
    =-
    48
    5
    t2+
    108
    5
    t，
    =-
    48
    5
    （t-
    9
    8
    ）2+
    243
    20
    精英家教网，
    ∴当t=
    9
    8
    时，S大=
    243
    20
    =12.15．
    ③当2＜t≤
    24
    11
    时，此时，N、M均在CD上，
    则MN=24-11t，
    过O作OH⊥CD于H，
    则由等面积得：OH=
    24
    5
    ，
    ∴S△OMN=
    1
    2
    OH•MN=
    1
    2
    ×
    24
    5
    ×（24-11t）=-
    132
    5
    t+
    288
    5
    ，
    此时当t=2时，S大=
    24
    5
    ．
    点评：本题主要考查了矩形的性质、图形的折叠变换、图形面积的求法以及二次函数的应用等知识．
    综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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    （1）直接写出点E、F的坐标；
    （2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
    （3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，将矩形OABC在直角坐标系中A（4，0），B（4，3），将矩形OABC沿OB对折，使点A落在E处，并交BC于点F，则BF=
     
    ，点E的坐标为
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA，OC分别在x，y轴上，点D在OA上，且CD=AD．
    （1）求直线CD的函数关系式；
    （2）求经过B，C，D三点的抛物线的关系式；
    （3）在上述抛物线上位于x轴下方的图象上，是否存在一点P，使△PBC的面积等于矩形OABC的面积的
    35
    ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•南沙区一模）将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上．在OA边上选取适当的点E，连接CE，将△EOC沿CE折叠．

    （1）如图①，当点O落在AB边上的点D处时，点E的坐标为
    （0，5）
    （0，5）
    ；
    （2）如图②，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG∥x轴交CD于点H，交BC于点G．求证：EH=CH；
    （3）在（2）的条件下，设H（m，n），写出m与n之间的关系式
    m=
    1
    20
    n2+5
    m=
    1
    20
    n2+5
    ；
    （4）如图③，将矩形OABC变为正方形，OC=10，当点E为AO中点时，点O落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在矩形OABC中，已知A，C两点的坐标分别为A（4，0），C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
    （1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
    （2）当点P运动到与点B的距离最小时，求P的坐标；
    （3）已知E（1，-1），当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长．

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