Question

10．如图，直线y=2x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于点A，将直线y=2x向右平移3个单位后，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于点B，与x轴交于点C．若BC=$\frac{1}{2}$OA，则k的值为8．

Answer 1

分析 作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，先利用直线平行的问题和待定系数法确定直线BC的解析式为y=2x-6，根据一次函数图象上点的坐标特征，设A（m，2m），B（n，2n-6），再证明Rt△AOD∽Rt△BCE，则利用相似比可得$\frac{OD}{CE}$=$\frac{OA}{BC}$=2，即m=2（n-3），即A（2n-6，4n-12），接着根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=（2n-6）（4n-12）=n（2n-6），然后先求出n的值，再计算k的值．

解答 解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，
∵直线y=2x向右平移3个单位得到直线BC，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y=2x+b，
把B（3，0）代入得6+b=0，解得b=-6，
∴直线BC的解析式为y=2x-6，
设A（m，2m），B（n，2n-6），
∵OA∥BC，
∴∠AOD=∠BCE，
∴Rt△AOD∽Rt△BCE，
∴$\frac{OD}{CE}$=$\frac{OA}{BC}$=2，即m=2（n-3），
∴A（2n-6，4n-12）
∵点A（2n-6，4n-12），点B（n，2n-6）在y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=（2n-6）（4n-12）=n（2n-6），解得n₁=3（舍去），n₂=4，
∴k=4×（8-6）=8．
故答案为8．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了相似三角形的判定与性质．