Question

【题目】已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点．

（1）如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：；

（2）如图乙，连接AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点若，，，求AS和OR的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），.

【解析】

（1）根据菱形的性质证明△ODQ≌△OBP，即可得到．

（2）首先求AS的长，要通过构建直角三角形求解；过A作BC的垂线，设垂足为T，在Rt△ABT中，易证得∠ABT=∠DCB=60°，又已知了斜边AB的长，通过解直角三角形可求出AT、BT的长；进而可在Rt△ATS中，由勾股定理求出斜边AS的值；由于四边形ABCD是菱形，则AD∥BC，易证得△ADO∽△SBO，已知了AD、BS的长，根据相似三角形的对应边成比例线段可得出OA、OS的比例关系式，即可求出OA、OS的长；同理，可通过相似三角形△ADR和△SCR求得AR、RS的值；由OR=OS-RS即可求出OR的长．

（1）证明：四边形ABCD为菱形，

．

,

是BD的中点，

,

在和中，

，，

≌

．

（2）解：如图乙，

过A作，与CB的延长线交于T．

是菱形，

，

在中，

,

，

，

在中，

．

，

∽．

，

则，

，

，

．

同理可得∽．

，

则，

，

．

．