Question

小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG=FH．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；
方案二：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N．…
（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．
（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB=2，BC=3（如图（2）），是探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为

5

2

（如图（3）），试求EG的长度．

Answer 1

分析：（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD，AB=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°求证△ABM≌△ADN即可．
（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，利用在长方形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°求证△ABM∽△ADN．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可．
（3）过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，将△AND绕点A顺时针旋转90°到△APB．从而求证△APM≌△ANM，得出PM=NM．再设DN=x，根据勾股定理列方程即可求解．

解答：解：（1）证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∴AM=HF，AN=BC，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM=∠DAN，AB=AD，∠ABM=∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM=AN，即EC=FH


（2）结论：EG：FH=3：2
证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，
∴AM=HF，AN=EC，在长方形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN．
∴△ABM∽△ADN．

AM

AN

=

AB

AD

，
∵AB=2，BC=AD=3，
∴

EC

FH

=

3

2

．

（3）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，
∵AB=1，AM=FH=

5

2

．
∴在Rt△ABM中，BM=

1

2

．
将△AND绕点A顺时针旋转90°到△APB．
∵EG与FH的夹角为45°，
∴∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45°，即∠PAM=∠MAN=45°，
从而△APM≌△ANM，
∴PM=NM．
设DN=x，则NC=1-x，MN=PM=

1

2

+x．
在Rt△CMN中，(

1

2

+x)2=

1

4

+(1-x)2解得x=

1

3

．
∴EG=AN=

1+x2

=

10

3

．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题．