Question

如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

Answer 1

（1）（2）该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）（3）当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大，M（2，﹣3）

解：（1）∵B（4，0）在抛物线的图象上
∴，即：。
∴抛物线的解析式为：。
（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）。
∴OA=1，OC=2，OB=4。∴。
又∵OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB。∴∠OCA=∠OBC。
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°。
∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径。
∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）。
（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2。
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=，即： x²﹣4x﹣4﹣2b=0，且△=0。
∴16﹣4×（﹣4﹣2b）=0，解得b=4。∴直线l：y=x﹣4。
∵，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大。
∴点M是直线l和抛物线的唯一交点，有：
，解得：。∴ M（2，﹣3）。
（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可。
（2）根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标。
（3）△MBC的面积可由表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M。