Question

（2012•盐城模拟）某专买店购进一批新型计算器，每只进价12元，售价20元多买优惠：凡一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元、例如：某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20-10）=1（元），因此，所买的全部20只计算器都按每只19元的价格购买．设一次性购买计算器为x只，所获利润为y元．
（1）若该专卖店在确保不亏本的前提下进行优惠销售，试求y与x（x＞10）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若该专买店想获得200元的销售利润，又想让消费者多获得实惠，应将每只售价定为多少元？
（3）某天，顾客甲买了42只新型计算器，顾客乙买了52只新型计算器，店主却发现卖42只赚的钱反而比卖52只赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？

Answer 1

分析：（1）设一次购买x只，由于凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，因此得到y=[20-0.1（x-10）-12]x，再利用该专卖店在确保不亏本的前提下进行优惠销售，求出x的取值范围即可；
（2）把y=200代入，得-0.1x²+9x=200，解得x₁=50，x₂=40，进而分析得出售价；
（3）首先把函数变为y=-0.1x²+9x=-0.1（x-45）²+202.5，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问题．

解答：解：（1）y=[20-0.1（x-10）-12]x=-0.1x²+9x，
∵y≥0，
∴-0.1x²+9x≥0，
∴0≤x≤90，
∵x＞10，
自变量x的取值范围是：10＜x≤90；

（2）把y=200代入，得-0.1x²+9x=200，解得x₁=50，x₂=40，
当x=50时，20-（50-10）×0.1=16（元），
当x=40时，20-（40-10）×0.1=17（元），
∵16＜17，∴应将每只售价定为16元；

（3）y=-0.1x²+9x=-0.1（x-45）²+202.5．
①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．
②当45＜x≤90时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．
且当x=42时，y₁=201.6元，当x=52时，y₂=197.6元．      
∴y₁＞y₂．即出现了卖42只赚的钱比卖52只嫌的钱多的现象．

点评：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=-

b

2a

时取得．