Question

16．已知A点坐标为（-2，0），B点坐标为（8，0），且△ABC为等边三角形．
（1）求C点坐标；
（2）求△ABC的周长和面积．

Answer 1

分析 （1）由题意得出OA=2，AB=10，作CE⊥AB于E，则AE=BE=5，∠AEC=90°，求出OE，由三角函数求出CE=5$\sqrt{3}$；分两种情况：
①当点C在第一象限时，点C坐标为（3，5$\sqrt{3}$）；②当点C在第二象限时，点C坐标为（3，-5$\sqrt{3}$）；即可得出结果；
（2）△ABC的周长=AB+BC+AC=30，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CE，即可得出结果．

解答 解：（1）∵A点坐标为（-2，0），B点坐标为（8，0），
∴OA=2，OB=8，
∴AB=10，
∵△ABC是正三角形，
∴BC=AC=AB=10，∠A=60°，
作CE⊥AB于E，则AE=BE=5，∠AEC=90°，
∴OE=5-2=3，
∴CE=AC•sin60°=10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$；
分两种情况：
①当点C在第一象限时，如图1所示：
点C坐标为（3，5$\sqrt{3}$）；
②当点C在第二象限时，如图2所示：
点C坐标为（3，-5$\sqrt{3}$）；
综上所述：C点坐标为（3，5$\sqrt{3}$），或（3，-5$\sqrt{3}$）；
（2）△ABC的周长=AB+BC+AC=30，
△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$×10×5$\sqrt{3}$=25$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正三角形的性质、三角函数、坐标与图形性质、正三角形的周长和面积的计算方法；本题综合性强，难度适中．