Question

19．△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O向三角形外部旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为40°或70°或100°．

Answer 1

分析 分三种情形讨论①如图1中，当AC=AP时，②如图2中，当PC=PA时，③如图3中，当CA=CP时，分别利用全等三角形的性质计算即可．

解答 解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AO=OB，
∴OC=OA=OB，
∴∠OAC=∠ACO=20°，∠COB=40°，∠AOC=140°
①如图1中，

当AC=AP时，
在△AOC和△AOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}\\{AC=AP}\\{OC=OP}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△AOP，
∴∠AOC=∠AOP=140°，
∴α=∠POB=40°．
②如图2中，当PC=PA时，同理可证△OPA≌△OPC，

∴∠POA=∠POC=$\frac{1}{2}$（360°-∠AOC）=110°，
∴α=∠POB=∠POC-∠COB=70°．
③如图3中，当CA=CP时，同理可证△COA≌△COB，
∴∠COP=∠AOC=140°，
∴α=∠POB=∠POC-∠COB=100°

故答案为40°或70°或100°．

点评 本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会题分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．