Question

如图，点C是线段AB上一点，△ACM与△BCN都是等边三角形．
（1）如图1，AN与BM是否相等？证明你的结论；
（2）如图2，AN与CM交于点E，BM与CN交于点F，试探究△ECF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：几何图形问题

分析：（1）等边三角形的性质可以得出△ACN，△MCB两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN与线段BM相等．（2）平角的定义得出∠MCN=60°，通过证明△ACE≌△MCF得出CE=CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状．

解答：解：（1）AN=BM，
理由：∵△ACM、△CBN都是等边三角形，
∴AC=CM，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，
∴∠ACN=∠BCM，
∵在△ACN和△MCB中

AC=CM ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=MB．

（2）△CEF的形状是等边三角形，
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE=∠CMB．
在△ACE和△MCF中

∠CAE=∠CMF AC=MC ∠ACE=∠FCM

，
∴△ACE≌△MCF（ASA）．
∴CE=CF．
∵∠ACM=∠NCB=60°，
∴∠ECF=60°，
∴△CEF的形状是等边三角形．

点评：本题考查等边三角形的性质和判定，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确证明△ACE≌△MCF，△ACN≌△MCB．