Question

【题目】在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和ED，设EC＝kBD（k≠0）．

（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；

（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：

①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；

②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．

Answer 1

【答案】（1）k＝1，理由见解析；（2）①k值发生变化，k＝，理由见解析；②tan∠EAC＝．

【解析】

（1）根据题意得到△ABC和△ADE都是等边三角形，证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质解答；

（2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；

②作EF⊥AC于F，设AD＝DE＝a，证明△CFE∽△CAD，根据相似三角形的性质求出EF，根据勾股定理求出AF，根据正切的定义计算即可．

（1）k＝1，

理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE，

∴△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，

∴∠DAB＝∠EAC，

在△DAB和△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC（SAS）

∴EC＝DB，即k＝1；

（2）①k值发生变化，k＝，

∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE，

∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴，，∠DAE＝∠BAC＝45°，

∴，∠DAB＝∠EAC，

∴△EAC∽△DAB，

∴，即EC＝BD，

∴k＝；

②作EF⊥AC于F，

设AD＝DE＝a，则AE＝a，

∵点E为DC中点，

∴CD＝2a，

由勾股定理得，AC＝，

∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA，

∴△CFE∽△CAD，

∴，即，

解得，EF＝，

∴AF＝，

则tan∠EAC＝．