Question

5．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），对于下列命题：①abc＞0；②（a-b）c＞0；③b-c＞0；④4a+3b+2c＞0；⑤b-2a=1；⑥a+b+c＜0；⑦4a-2b+c＜0．其中所有正确结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 首先根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c的正负即可判断出①、②的正误；③当x=-1时y=0，判断故③正误；④当x=1，2时y＜0，判断④错误；⑤由对称轴：x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{-1+3}{2}$=1，得到b=-2a，判断⑤错误；⑥由图象可知：当x=1时y＜0，判断⑥正确；⑦由图象可知：当x=-2时，y＞0，判断⑦错误．

解答 解：根据图象可得：抛物线开口向上，则a＞0．抛物线与y交与负半轴，则c＜0，
对称轴：x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{-1+3}{2}$=1＞0，
①∵a＞0，
∴b＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵a-b＞0，c＜0，
∴（a-b）c＜0，故②错误；
③当x=-1时y=0，
∴a-b+c=0；
∴a=b-c＞0，故③正确；
④由图象可知：当x=1，2时y＜0，
∴a+b+c＜0，4a+2b+c＜0，
∴5a+3b+2c＜0，
∵a＞0，
∴4a+3b+2c＜0；故④错误；
⑤∵对称轴：x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{-1+3}{2}$=1，
∴b=-2a，
∴b-2a=2b＜0，
故⑤错误；
⑥由图象可知：当x=1时y＜0，
∴a+b+c＜0；故⑥正确；
⑦由图象可知：当x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，故⑦错误；
故选C．

点评 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．