Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+6经过点A（-3，0）和点B（2，0）．直线y=h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BE，求h为何值时，△BDE的面积最大；
（3）已知一定点M（-2，0）．问：是否存在这样的直线y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+6经过点A（-3，0）和点B（2，0），
∴

9a-3b+6=0 4a+2b+6=0

．
解得：

a=-1 b=-1

．
∴抛物线的解析式为y=-x²-x+6．

（2）∵把x=0代入y=-x²-x+6，得y=6．
∴点C的坐标为（0，6）．
设经过点B和点C的直线的解析式为y=mx+n，则

2m+n=0 n=6

，
解得

m=-3 n=6

．
∴经过点B和点C的直线的解析式为：y=-3x+6．
∵点E在直线y=h上，
∴点E的坐标为（0，h）．
∴OE=h．
∵点D在直线y=h上，
∴点D的纵坐标为h．
把y=h代入y=-3x+6，得h=-3x+6．
解得x=

6-h

3

．
∴点D的坐标为（

6-h

3

，h）．
∴DE=

6-h

3

．
∴S_△BDE=

1

2

•OE•DE=

1

2

•h•

6-h

3

=-

1

6

（h-3）²+

3

2

．
∵-

1

6

＜0且0＜h＜6，
∴当h=3时，△BDE的面积最大，最大面积是

3

2

．

（3）存在符合题意的直线y=h．
设经过点A和点C的直线的解析式为y=kx+p，则

-3k+p=0 p=6

，
解得

k=2 p=6

．
故经过点A和点C的直线的解析式为y=2x+6．
把y=h代入y=2x+6，得h=2x+6．
解得x=

h-6

2

．
∴点F的坐标为（

h-6

2

，h）．
在△OFM中，OM=2，OF=

( h-6 2 )2+h2

，MF=

( h-6 2 +2)2+h2

．
①若OF=OM，则

( h-6 2 )2+h2

=2，
整理，得5h²-12h+20=0．
∵△=（-12）²-4×5×20=-256＜0，
∴此方程无解．
∴OF=OM不成立．
②若OF=MF，则

( h-6 2 )2+h2

=

( h-6 2 +2)2+h2

，
解得h=4．
把y=h=4代入y=-x²-x+6，得-x²-x+6=4，
解得x₁=-2，x₂=1．
∵点G在第二象限，
∴点G的坐标为（-2，4）．
③若MF=OM，则

( h-6 2 +2)2+h2

=2，
解得h₁=2，h₂=-

6

5

（不合题意，舍去）．
把y=h₁=2代入y=-x²-x+6，得-x²-x+6=2．
解得x₁=

-1- 17

2

，x₂=

-1+ 17

2

．
∵点G在第二象限，
∴点G的坐标为（

-1- 17

2

，2）．
综上所述，存在这样的直线y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，当h=4时，点G的坐标为（-2，4）；当h=2时，点G的坐标为（

-1- 17

2

，2）．