Question

两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED，按如图一所示的位置放置，点O与E重合．
（1）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点E运动到与点B重合时停止，设运动x秒后，Rt△AOB和Rt△CED的重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）当Rt△CED以（1）中的速度和方向运动，运动时间x=2秒时，Rt△CED运动到如图二所示的位置，若抛物线y=x²+bx+c过点A，G，求抛物线的解析式；
（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上运动，试问点P在运动过程中是否存在点P到x轴或y轴的距离为2的情况？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=x²（0≤x≤3）；（2）y=x²﹣x+3．（3）符合条件的点P有两个，分别是P₁（2，2），P₂（﹣2，6）．

解析试题分析：（1）根据题意，得重叠部分是等腰直角三角形．根据运动的路程=速度×时间=2x．再根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，即可进一步求得等腰直角三角形的面积；
（2）只需求得点A和点G的坐标．根据等腰直角三角形的两条直角边的长即可写出点A的坐标，根据运动的路程=速度×时间，得到OE=4，再进一步根据等腰直角三角形的性质求得G（2，2），然后根据待定系数法代入求解；
（3）根据题意，应考虑两种情况．若点P到y轴的距离是2，即点的横坐标是±2；当点P到x轴的距离是2，即点的纵坐标是±2．
试题解析：（1）①由题意知重叠部分是等腰直角三角形，作GH⊥OE．

∴OE=2x，GH=x，
∵y=OE•GH=•2x•x=x²（0≤x≤3）
（2）A（6，6）
当x=2时，OE=2×2=4．
∴OH=2，HG=2，
∴G（2，2）．

∴解得：
∴y=x²﹣x+3．
（3）设P（m，n）．
当点P到y轴的距离为2时，
有|m|=2，
∴|m|=2．当m=2时，得n=2，
当m=﹣2时，得n=6．
当点P到x轴的距离为2时，有|n|=2．
∵y=x²﹣x+3
=（x﹣2）²+2＞0
∴n=2．当n=2时，得m=2．
综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P₁（2，2），P₂（﹣2，6）．
考点：二次函数综合题．