Question

如图，AB为⊙O的直径，在BA的延长线上取点P，使PA=

1

2

AB，弦CD⊥AB且过OA的中点，连接AC、PC．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若AC=2，F为⊙O上一点，CD上的点Q为△CAF的内心，求线段DQ的长．

Answer 1

分析：（1）连OC，先证明三角形AOC是等边三角形再证明∠PCO=90°．
（2）先求出CD的长，再证出三角形ACO是直角三角形，并求出它的三边长，这样就可求出它的内切圆半径，求出CQ，最后得到DQ．

解答：解：（1）连OC，
∵弦CD⊥AB且过OA的中点，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60°．
又∵PA=

1

2

AB，
∴PA=AO=AC．
∴△PAO是直角三角形即∠PCO=90°．
∴直线PC是⊙O的切线．

（2）过Q点作QE⊥AC，Q点为垂足．
∵CD上的点Q为△CAF的内心，而CD是平分∠ACO的．
∴C，O，F共线即CF为直径．
若AC=2，则等边三角形OAC的高CH为

3

，所以CD=2

3

．
∠F=30°，则CF=4，AF=2

3

，所以直角三角形ACF的内切圆半径QE=

2+ 2 3  -4

2

=

2 3 -2

2

．
∴CQ=2QE=2

3

-2．
∴DQ=2

3

-（2

3

-2）=2．

点评：掌握直线是圆的切线的几何证明方法就是转化为证明垂直．含30°的直角三角形三边的关系记住对几何计算很有帮助．掌握三角形内心的性质即它是三条角平分线的交点和它到三边的距离相等，对于直角三角形还要记住它的内切圆半径等于两直角边和与斜边差一半．