Question

如图，△ABC中，∠C=90°，点G是线段AC上的一动点（点G不与A、C重合），以AG为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若cosA=,AB=，AG=，求BE的长；

(3)若cosA=,AB=，直接写出线段BE的取值范围.

  

Answer 1

解：(1)连结OD

∵OA=OD    

∴∠A=∠ODA               

∵EF垂直平分BD

∴ED=EB               

∴∠B=∠EDB              

∵∠C=90°

∴∠A+∠B=90°             

∴∠ODA+∠EDB=90°        

∴∠ODE=90°                                           第23题图

∴ DE⊥OD          

∴DE是⊙O的切线      

(2) ∵ AG=，∴AO=

∵cosA=,∴∠A=60°

又∵OA=OD

∴△OAD是等边三角形

∴AD=AO=              

∴BD=AB-AD=-=  

∵直线EF垂直平分BD

∴BF =BD=     

∵∠C=90°，∠A=60°∴∠B=30°

∴BE==7          

（3）6＜BE＜8