Question

如图，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，AB=2

3

．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，连接DE、DF、EF，且使DE始终与AB垂直，设AD=x，△DEF的面积为y．
（1）画出符合条件的图形，写出与△ADE一定相似的三角形并说明理由；
（2）EF与AB可能平行吗？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由；
（3）求出y与x之间的函数关系式并求出自变量的取值范围；当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？

Answer 1

分析：（1）由于AC=BC，根据等边对等角，∠A=∠B=30°，又知道∠B也是30°，那么不难得出∠DFB就应该是90°，在△ABC中，肯定相等的角是∠A=∠B=30°，∠ADE=∠DFB=90°，因此△ADE和△BFD一定相似．
（2）如果EF∥AB，那么△DEF就是个直角三角形，如果设AD=x，那么根据AB的长，可以用x表示出BD的长，先在△ADE中，根据∠A的度数和AD的长用x和三角形函数表示出DE同理在△DEF中，用DE表示出DF，先前我们用x表示出了BD的长，那么可以在直角△BDF中，用x表示出DF，然后让这两个表示DF的式子相等，即可求出x即AD的长．
（3）求△DEF的高就要知道它的底边和高分别是多少，在（2）中我们已经得出了DE=

x

3

，DE边上的高=DF•sin30°=

1

2

DF=

1

2

（

3

-

x

2

），由此可根据三角形的面积公式来列出关于x，y的函数关系式．当F与C重合时x最小，此时BF=2．那么BD=

4 3

3

，x=2

3

-BD=

2 3

3

；当E与C重合时，AD就是AB的一半，此时x=

3

，x的值最大，因此x的取值范围就是

2 3

3

≤x≤

3

．然后根据得出的函数式和自变量的取值求出y的最大值是多少．

解答：解：（1）图形举例：
△ADE∽△BFD
∵DE⊥AB，∠EDF=30°，∴∠FDB=60°
∵∠A=∠B，∠AED=∠FDB，
∴△ADE∽△BFD．

（2）EF可以平行于AB
此时，在直角△ADE中，DE=

x

3

，
在直角△DEF中，EF=

x

3

在直角△DBF中，
∵BD=2

3

-x，∴DF=

3

-

x

2

而DF=2EF，
∴

3

-

x

2

=

2x

3

，
∴x=

6 3

7

．

（3）y=

1

2

×

x

3

×

1

2

（

3

-

x

2

）=

1

4 3

x(

3

-

x

2

)=-

3

24

x2+

1

4

x（

2 3

3

≤x≤

3

）
当x=

3

时，y最大=

3

8

．

点评：本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，利用直角三角形的特殊角和直角三角形之间的公共边求解是解题的关键．