Question

5．已知抛物线y=-x²+bx+c，经过点A（0，-5）和点B（3，-2）
（1）求抛物线的解析式：
（2）若⊙P的半径为l，圆心P在抛物线上运动，当⊙P在运动过程中，是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上，当⊙Q与两坐轴都相切时，求半径r．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分类讨论：①⊙P与x轴相切，根据切线的性质，可得关于x的方程，②⊙P与y轴相切，根据自变量于函数值的关系，可得答案；
（3）根据切线的性质，圆心在坐标轴的平分线上，可得关于r的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）由题意，得；$\left\{\begin{array}{l}{c=-5}\\{-9+3b+c=-2}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=-5}\\{b=4}\end{array}\right.$；
抛物线的解式为y=-x²+4x-5，
（2）①由⊙P与x轴相切，得
y=±1．
当y=1时，-x²+4x-5=1，方程无解；
当y=-1时，-x²+4x-5=-1，解得x=2，
⊙P与x轴相切，圆心P的坐标（2，-1）；
②由⊙P与y轴相切，得
x=±1，
当x=1时，y=-1+4-5=-2，即圆心P的坐标（1，-2）
当x=-1时，y=-1-4-5=-10，圆心P的坐标（-1，-10），
⊙P与y轴相切，圆心P的坐标（1，-2），（-1，-10）；
（3）设圆心（r，-r²+4r-5），
由⊙Q与两坐轴都相切，得
-r²+4r-5=r，-r²+4r-5=-r．
解得r=$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$，
⊙Q与两坐轴都相切时，⊙Q的半径为r为$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用相切得出横坐标于纵坐标相等或互为相反数得出关于r的方程是解题关键．