Question

15．如图，点O在线段AB上，AO=1，OB=2，OC为射线，且∠BOC=120°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC作匀速直线运动．设运动时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为（　　）

• A． t=1
• B． t=1或$\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$
• C． t=$\frac{1+\sqrt{33}}{8}$
• D． t=1或$\frac{1+\sqrt{33}}{8}$

Answer 1

分析 根据题意分三种情况考虑：当∠PAB=90°；当∠APB=90°；当∠ABP=90°，根据△ABP为直角三角形，分别求出t的值即可．

解答 解：如图1，
当∠PAB=90°时，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOP=60°，
∴∠APO=30°，
∴OP=2OA=2，
∵OP=2t，
∴t=1；
如图2，当∠APB=90°，过P作PD⊥AB，
∵∠OPD=120°-90°=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OP=t，PD=OP•sin∠POD=$\sqrt{3}$t，
∴AD=AO-OD=1-t，
在Rt△ABP中，根据勾股定理得：AP²+BP²=AB²，即（2+t）²+（$\sqrt{3}$t）²+（$\sqrt{3}$t）²+（1-t）²=3²，
解得：t=$\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$（负值舍去）；
当∠ABP=90°时，此情况不存在；
综上，当t=1或t=$\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$时，△ABP是直角三角形．
故选B．

点评 此题考查了勾股定理、锐角三角函数以及一元二次方程的解法，本题利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．