Question

12．在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点P是矩形ABCD边上的一点．连接AP与矩形的对角线BD交于点E，且△PAB为等腰三角形，过E作EF∥AD交AB于点F，请你画出图形并直接写出线段EF的长．

Answer 1

分析 ①P在BC上时；根据题意画出图形，由矩形的性质得出∠ABP=90°，AD∥BC，证出△ADE∽△PBE，得出对应边成比例$\frac{AE}{PE}=\frac{AD}{PB}$，由等腰三角形的性质得出$\frac{AE}{AP}$=$\frac{3}{5}$，由平行线得出$\frac{EF}{PB}$=$\frac{AE}{AP}$，即可得出结果；②当P在CD上时，同①得出结果．

解答 解：①P在BC上时，如图所示
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP=90°，AD∥BC，
∴△ADE∽△PBE，
∴$\frac{AE}{PE}=\frac{AD}{PB}$，
∵△ABP是等腰三角形，
∴PB=AB=2，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AE}{AP}$=$\frac{3}{5}$，
∵EF∥AD交AB于点F，
∴$\frac{EF}{PB}$=$\frac{AE}{AP}$=，即$\frac{EF}{2}$=$\frac{3}{5}$，
∴EF=$\frac{6}{5}$；
②当P在CD上时，同①得：EF=$\frac{2}{3}$AD=2；
综上所述：EF的长为$\frac{6}{5}$或2．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、比例的性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．