Question

5．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，∠AOC=60°，点P在AB的延长线上，且PB=BO=3cm．连接PC交半圆于点D，过P作PE⊥PA交AD的延长线于点E，求PE长．

Answer 1

分析 先求出∠PDE=30°，再判断出∠BDE=∠BPE=90°，进而得出∠BDE+∠BPE=180°，即可得出点B，P，E，D四点共圆，最后在直角三角形BPE中，用三角函数值即可求出PE．

解答 解：如图，连接BD，BE，
∵∠AOC=60°，
∴∠ADC=∠PDE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BDE=90°，
∵PE⊥PA，
∴∠BPE=90°，
∴∠BDE=∠BPE=90°，
∴∠BDE+∠BPE=180°，
∴点B，P，E，D四点共圆，
∴∠PBE=∠PDE=30°，
在Rt△BPE中，tan∠PBE=$\frac{PE}{PB}$，
∴tan30°=$\frac{PE}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PE=$\sqrt{3}$．

点评 此题是四点共圆，主要考查了同弧所对圆周角与圆心角的关系，四点共圆，锐角三角函数的定义，解本题的关键判断出点B，P，E，D四点共圆．