Question

2．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，E为AB延长线上的点，作OD∥BC交EC的延长线于点D，连接AD．
（1）求证：AD=CD；
（2）若DE是⊙O的切线，CD=3，CE=2，求tanE和cos∠ABC的值．

Answer 1

分析 （1）先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再利用OD∥BC得到OD⊥AC，然后根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可得到结论；
（2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先利用平行线分线段成比例定理得到r=$\frac{2}{3}$，再证明△OAD≌△OCD得到∠OAD=90°，则根据勾股定理可计算出AE=4，这样利用正切定理可得tanE的值，再利用OD∥BC得到∠ABC=∠AOD，然后在Rt△AOD中，先计算出OD，再利用余弦得到cos∠AOD的值，从而得到cos∠ABC的值．

解答 （1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴OD平分AC，即OD垂直平分AC，
∴AD=CD；
（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，
∵BC∥OD，
∴$\frac{BE}{OB}$=$\frac{EC}{CD}$，即$\frac{BE}{r}$=$\frac{2}{3}$，解得BE=$\frac{2}{3}$r，
∵DE为切线，
∴OC⊥DE，
∴∠OCD=∠OCE=90°，
在△OAD和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{OD=OD}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△OCD，
∴∠OAD=90°，
在Rt△ADE中，∵AD=AC=3，DE=DC+CE=5，
∴AE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴tanE=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{3}{4}$，
∵OD∥BC，
∴∠ABC=∠AOD，
在Rt△AOD中，OD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴cos∠AOD=$\frac{OA}{OD}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cos∠ABC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
答：tanE=$\frac{3}{4}$，cos∠ABC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．解决本题的关键是利用三角形全等证明∠DAC=90°和计算出圆的半径．