Question

19．已知关于x的方程k²x²-2（k+1）x+1=0有两个实数根
（1）求k的取值范围．
（2）请你从第（1）题得到的k的取值范围中选择一个你喜欢的实数，写出这个方程，并求两根．
（3）你能否选择一个实数k，使这个方程的两根均为有理数（试一下，你一定能成功！）．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k²≠0且△=4（k+1）²-4k²≥0，然后解两个不等式，求出它们的公共部分即可；
（2）答案不唯一，只要在k的取值范围内取值即可，注意是用配方法解方程；
（3）要使这个方程的两根均为有理数，只要△=8k+4是完全平方数即可．

解答 解：（1）根据题意得k²≠0且△=4（k+1）²-4k²=8k+4≥0，
解得k≥-$\frac{1}{2}$且k≠0；
（2）答案不唯一，如当k=1时，
原方程为：x²-4x+1=0．
解得x₁=2+$\sqrt{3}$，x₂=2-$\sqrt{3}$．
（3）∵方程的两根均为有理数，
∴△=8k+4是完全平方数，
∴k=4即可．

点评 本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根．