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    如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD与Q，PQ=4，PE=1
    （1）求证∠BPQ=60°
    （2）求AD的长．
    （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
    ∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
    又∵AE=CD，
    ∴△BAE≌△ACD，
    ∴∠1=∠2，
    ∵∠BAE=∠1+∠BAD=60°，
    ∴∠BAE=∠2+∠BAD=60°，
    ∴∠BPQ=60°；
    （2）∵BQ⊥AD，
    ∴∠BQP=90°，
    又∵∠BPQ=60°，
    ∴∠PBQ=30°，
    ∴BP=2PQ=2×4=8，
    ∴BE=BP+PE=8+1=9，
    由（1）知△BAE≌△ACD，
    ∴AD=BE=9．
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    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=______．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：单选题

    下列说法正确的是（　　）
    A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
    B．有一个角是45°的等腰三角形是等腰直角三角形
    C．等腰三角形的对称轴是顶角平分线
    D．直角三角形一边上的中线等于这条边的一半

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    （1）如图①，△ABC是等边三角形，D是AB上一点，以CD为一边向上作等边△ECD，连接AE，求证：∠CAE=∠CBA．
    （2）在上题（1）中，当D点在AB的延长线上时，其他条件不变，如图②所示，请你补画出题意的图形，（1）的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请简要说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=
    1
    2
    AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=
    1
    4
    S，△D1E1F1的面积S1=
    1
    4
    S．
    （1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=
    1
    3
    AB时如图2，
    ①求证：△D2E2F2是等边三角形；
    ②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2=______；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=______．
    （2）按照上述思路探索下去，并填空：
    当Dn、En、Fn分别是等边△ABC三边上的点，ADn=BEn=CFn=
    1
    n+1
    AB时，（n为正整数）△DnEnFn是______三角形；
    若用S表示△ADnFn的面积Sn，则Sn=______；若用S表示△DnEnFn的面积Sn′，则S′n=______．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

    小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
    （1）特殊情况，探索结论
    当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE______DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

    （2）一般情况，证明结论：
    如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明）
    （3）拓展结论，设计新题：
    在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为______（请直接写出结果）．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD=CE．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图所示，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PE∥AC交AB于E，PF∥AB交BC于F，交AC于D，已知△ABC的周长是12cm，则PD+PE+PF=______cm．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知：如图，边长为2的等边三角形ABC，延长BC到D，使CD=BC，延长CB到E，使BE=CB，求△ADE的周长．

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