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    已知正方形ABCD．
    （1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE=GH；
    （2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD，BC于点E，F，交AB，CD于点G，H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；
    （3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m，n，m与AD，BC的延长线分别交于点E，F，n与AB，DC的延长线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明．
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    分析：（1）通过构建全等三角形来证明，过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于点O′．那么GH=AH′，要证明GH=BE只要证明三角形AH′D和三角形AEB全等即可．这两个三角形中已知的条件有AD=AB，有一组直角，只要再求出一组对应角相等即可得出全等的结论，我们发现∠EAO′和∠ABE同为∠BEA的余角，因此∠EAO′=∠ABE，由此就构成了全等三角形判定中的ASA，所以两三角形全等，那么就能得出BE=AH′=GH了；
    （2）应该相等，作法同（1），只不过要作两条辅助线，即过D作GH的平行线和过C作EF的平行线，证法和思路与（1）完全一样，因此结果也一样．
    （3）也要通过构建全等三角形来证明，过点A作m的平行线交BC于点F′，过点D作n的平行线交AB于点G′．因此四边形AF′FE是个平行四边形，那么AF′=EF，同理GH=G′D，那么只要证明三角形AG′D和三角形ABF′全等即可，证明的过程和思路与（1）（2）都是一样的．得出两三角形全等后，自然EF=GH了．
    解答：精英家教网（1）证明：在图1中，过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于点O'．
    ∵ABCD是正方形，
    ∴∠D=90°，∠H′AD+∠AH′D=90°．
    ∵GH⊥BE，AH′∥GH，
    ∴AH′⊥BE．
    ∴∠H′AD+∠BEA=90°．
    ∴∠BEA=∠AH′D．
    在△BAE和△ADH′中，
    ∠BAE=∠D
    ∠BEA=∠AH′D
    BA=AD
    ，
    ∴△BAE≌△ADH′（AAS），
    ∴BE=AH′=GH；
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    （2）解：EF=GH，理由如下：
    过E作EM⊥BC，过G作GN⊥CD，
    ∴∠EMF=∠GNH=90°，
    又GH⊥EF，∴∠EOG=∠GOF=90°，
    ∴∠MEF+∠EQG=90°，∠NGH+∠EQG=90°，
    ∴∠MEF=∠NGH，又GN=EM，
    ∴△EMF≌△GNH，
    ∴EF=GH；

    （3）解：相等．
    证明：在图3中，过点A作m的平行线交BC于点F′，过点D作n的平行线交AB于点G′．
    则有EF=AF′，G′D=GH，
    由（1）可知，Rt△ABF′≌Rt△DAG′，
    ∴AF′=DG′．
    从而可证明EF=GH．
    点评：本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定，本题中利用构建全等三角形来证明线段相等是解题的基本思想．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，过O点作OE⊥OF分别交DC于E，交BC于F，∠FEC的角平分线EP交直线AC于P．
    （1）①求证：OE=OF；
    ②写出线段EF、PC、BC之间的一个等量关系式，并证明你的结论；
    （2）如图2，当∠EOF绕O点逆时针旋转一个角度，使E、F分别在CD、BC的延长线上，请完成图形并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△EFG的直角边EF的长均为4cm，FG=8cm，AB与FG在同一条直线l上、开始时点F与点B重合，让Rt△EFG以每秒1cm速度在直线l上从右往左移动，精英家教网直至点G与点B重合为止．设x秒时Rt△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积记为ycm2．
    （1）当x=2秒时，求y的值；
    （2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知正方形ABCD的边长为4厘米，E，F分别为边DC，BC上的点，BF=1厘米，CE=2厘米，BE，DF相交于点G，求四边形CEGF的面积．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2012•惠山区一模）阅读与证明：
    如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，且∠EAF=45°，

    求证：BF+DE=EF．
    分析：证明一条线段等于另两条线段的和，常用“截长法”或“补短法”，将线段BF、DE放在同一直线上，构造出一条与BF+DE相等的线段．如图1延长ED至点F′，使DF′=BF，连接A F′，易证△ABF≌△ADF′，进一步证明△AEF≌△AEF′，即可得结论．
    （1）请你将下面的证明过程补充完整．
    证明：延长ED至F′，使DF′=BF，
    ∵四边形ABCD是正方形
    ∴AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，
    ∴△ABF≌△ADF’（SAS）
    应用与拓展：如图建立平面直角坐标系，使顶点A与坐标原点O重合，边OB、OD分别在x轴、y轴的正半轴上．
    （2）设正方形边长OB为30，当E为CD中点时，试问F为BC的几等分点？并求此时F点的坐标；
    （3）设正方形边长OB为30，当EF最短时，直接写出直线EF的解析式：
    y=-x+30
    		2
    y=-x+30
    		2
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知正方形ABCD边长为2，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH．
    （1）求证：△EBF≌△FCG；
    （2）设四边形EFGH的面积为s，AE为x，求s与x的函数解析式，并写出x的取值范围；
    （3）当x为何值时，正方形EFGH的面积最小？最小值是多少？

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