Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．
求证：四边形ADCF是菱形．

Answer 1

【答案】证明：∵AF∥CD，
∴∠AFE=∠CDE，
在△AFE和△CDE中，
，
∴△AEF≌△CED，
∴AF=CD，∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠B=90°，∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD，
∴DA=DC，
∴四边形ADCF是菱形．

【解析】先证明△AEF≌△CED，推出四边形ADCF是平行四边形，再证明∠DAC=∠ACB，推出DA=DC，由此即可证明．本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
【考点精析】掌握菱形的判定方法是解答本题的根本，需要知道任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．