Question

已知，凸4n+2边形A₁A₂…A_4n+2（n是非零自然数）各内角都是30°的整数倍，又关于x的方程：

x2+2xsinA1+sinA2=0 x2+2xsinA2+sinA3=0 x2+2xsinA3+sinA1=0

均有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数．

Answer 1

∵各内角只能是30°，60°，90°，120°，150°，
∴正弦值只能取

1

2

，

3

2

，1，
若sinA₁=

1

2

，
∵sinA₂≥

1

2

，sinA₃≥

1

2

，
∴方程①的判别式△₁=4（sin²A₁-sinA₂）≤4（

1

4

-

1

2

）＜0，
方程①无实根，与已知矛盾，
故sinA₁≠

1

2

，
同理sinA₂≠

1

2

，sinA₃≠

1

2

，
若sinA₁=

3

2

，则sinA₂≥

3

2

，sinA₃≥

3

2

，
∴方程①的判别式△₁=4（sin²A₁-sinA₂）=4•（

3

4

-

3

2

）＜0，方程①无实根，与已知矛盾，
∴sinA₁≠

3

2

，同理sinA₂≠

3

2

，sinA₃≠

3

2

，
综上，sinA₁=1，A₁=90°，
这样，其余4n-1个内角之和为4n×180°-3×90°=720°•n-270°，这些角均不大于150°，
∴720°•n-270°≤（4n-1）•150°，
故n≤1，又n为正整数，
∴n=1，即多边形为凸六边形，且A₄+A₅+A₆=4×180°-3×90°=450°，
∵A₄，A₅，A₆≤150°，
∴A₄=A₅=A₆=150°．