Question

分解因式：
（1）（x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x²；
（2）1999x²-（1999²-1）x一1999；
（3）（x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1）²；
（4）（2x-3y）³+（3x-2y）³-125（x-y）³．

Answer 1

分析：（1）是形如abcd+e型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；
（2）式中系数较大，不妨把数用字母表示；
（3）式中x+y；xy多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；
（4）式前两项与后一项有密切联系．

解答：解：（1）（x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x²
=（x+1）（x+6）（x+2）（x+3）+x²
=（x²+7x+6）（x²+5x+6）+x²
=[（x²+5x+6）+2x]（x²+5x+6）+x²
=（x²+5x+6）²+2x（x²+5x+6）+x²
=（x²+5x+6+x）²
=（x²+6x+6）²；

（2）1999x²-（1999²-1）x一1999
=1999x²+（1+1999）（1-1999）x-1999
=（1999x+1）（x-1999）；

（3）令x+y=a，xy=b，
则（x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1）²
=（a-2b）（a-2）+（b-1）²
=（a-b）²-2（a-b）+1
=（a-b-1）²；
即原式=（x+y-xy-1）²．
（4）（2x-3y）³+（3x-2y）³-125（x-y）³
=（2x-3y）³+（3x-2y）³-[5（x-y）]³
=（2x-3y）³+（3x-2y）³-[（2x-3y）+（3x-2y）]³
=-15（x-y）（2x-3y）（3x-2y）．

点评：本题考查了多项式的因式分解，因式分解要根据所给多项式的特点，选择适当的方法，先考虑提取公因式，再对所给多项式进行变形，套用公式，最后看结果是否符合要求．