Question

（1）小明在解方程组

mx+5y=-17 4x-ny=1

时，由于粗心，看错了方程组中的n，而得到的解为

x=4 y=3

，小红同样粗心，看错了方程组中的m，她得到的解为

x=-3 y=-1

，求原方程组的解．
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²+b²-6a-14b+58=0，求△ABC的周长的最小值．

Answer 1

考点：二元一次方程组的解,非负数的性质：偶次方,因式分解-运用公式法,三角形三边关系

专题：

分析：（1）把看错n解出的方程组的解代入关于m的方程求出m的值，看作出m求出的方程组的解代入关于n的方程求出n的值，从而得到方程组，然后利用加减消元法求解即可；
（2）根据完全平方公式整理成非负数的和的形式，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再求出第三边最小时的值，再求解即可．

解答：（1）解：∵看错方程组中的n得到的解为

x=4 y=3

，
∴4m+15=-17，
解得m=-8，
∵看错方程组中的m得到的解为

x=-3 y=-1

，
∴-12+n=1，
解得n=13，
∴方程组为

-8x+5y=-17 4x-13y=1

，
解得

x= 18 7 y= 5 7

；

（2）解：∵a²+b²-6a-14b+58=（a²-6a+9）+（b²-14b+49）=（a-3）²+（b-7）²=0，
∴a-3=0，b-7=0，
解得a=3，b=7，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴b-a＜c＜a+b，
即4＜c＜10，
要使△ABC周长的最小只需使得边长c最小，
又∵c是正整数，
∴c的最小值是5，
∴△ABC周长的最小值为3+5+7=15．

点评：本题考查了二元一次方程组的解，非负数的性质，公式法分解因式，三角形的三边关系，（1）难点在于看错一个字母而另一个字母没有错，把解代入方程求出另一个字母的值，（2）难点在于利用完全平方公式整理成非负数的形式．