Question

已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为的是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：A、由三角形的内切圆的性质，即可求得⊙O的半径；
B、易证得△ADO∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得⊙O的半径；
C、易证得四边形ODCE是正方形，然后由平行线分线段成比例定理，求得⊙O的半径；
D、易证得四边形ODCE是正方形，利用切线长定理，由勾股定理即可求得⊙O的半径．
解答：解：设⊙O的半径为r，
A、∵⊙O是△ABC内切圆，
∴S_△ABC=（a+b+c）•r=ab，
∴r=；
B、如图，连接OD，则OD=OC=r，OA=b-r，
∵AD是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
即∠AOD=∠C=90°，
∴△ADO∽△ACB，
∴OA：AB=OD：BC，
即（b-r）：c=r：a，
解得：r=；
C、连接OE，OD，
∵AC与BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，OD⊥AC，
∴∠OEB=∠ODC=∠C=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴矩形ODCE是正方形，
∴EC=OD=r，OE∥AC，
∴OE：AC=BE：BC，
∴r：b=（a-r）：a，
∴r=；
D、解：设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、F、E；连接OD、OE；
∵AC、BE是⊙O的切线，
∴∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°；
∴四边形ODCE是矩形；
∵OD=OE，
∴矩形ODCE是正方形；
即OE=OD=CD=r，则AD=AF=b-r；
连接OB，OF，
由勾股定理得：BF²=OB²-OF²，BE²=OB²-OE²，
∵OB=OB，OF=OE，
∴BF=BE，
则BA+AF=BC+CE，c+b-r=a+r，即r=．
故选C．
点评：此题考查了切线的性质、切线长定理、平行线分线段成比例定理、正方形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．