已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点,一动点P从B开始,沿射线BC运动,连结DP,作CN⊥DP于点M,且交直线AB于点N,连结OP,ON。(当P在线段BC上时,如图1:当P在BC的延长线上时,如图2)
(1)请从图1,图2中任选一图证明下面结论:
①BN=CP: ②OP=ON,且OP⊥ON
(2) 设AB=4,BP=x,试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系。
(1)证明:如图1,
①∵四边形ABCD是正方形,
∴OC=OB,DC=BC,∠DCB=∠CBA=90°,∠OCB=∠OBA=45°,∠DOC=90°,DC∥AB。
∵DP⊥CN,∴∠CMD=∠DOC=90°。
∴∠BCN+∠CPD=90°,∠PCN+∠DCN=90°。∴∠CPD=∠CNB。
∵DC∥AB,∴∠DCN=∠CNB=∠CPD。
∵在△DCP和△CBN中,∠DCP=∠CBN,∠CPD=∠BNC,DC=BC,
∴△DCP≌△CBN(AAS)。∴CP=BN。
②∵在△OBN和△OCP中,OB=OC,∠OCP=∠OBN, CP="BN" ,
∴△OBN≌△OCP(SAS)。∴ON=OP,∠BON=∠COP。
∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP,即∠NOP=∠BOC=90°。
∴ON⊥OP。
(2)解:∵AB=4,四边形ABCD是正方形,∴O到BC边的距离是2。
图1中,,
图2中,。
∴以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是:
。
解析
科目:初中数学 来源: 题型:
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