如图.在Rt△ABC中.AB=AC=42．一动点P从点B出发.沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动.到达点C即停止．在整个运动过程中.过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D.延长PD至点Q.使得PD=QD.以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒．(1)在整个运动过程中.设△ABC与△PQE重叠部分的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4

．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止．在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD=QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）在整个运动过程中，设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围；
（2）当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t=4秒时，以PQ为斜边在PQ右侧作等腰直角三角形PQF，将四边形PEQF绕点P旋转，PE与线段AB相交于点M，PF与线段AC相交于点N．试判断在这一旋转过程中，四边形PMAN的面积是否发生变化？若发生变化，求出四边形PMAN的面积y与PM的长x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；若不发生变化，求出此定值．

分析：（1）当PQ过A时求出t=4，当E在AB上时求出t=

，当P到C点时t=8，即分为三种情况：根据三角形面积公式求出当0＜t≤4时，S=

t²，当4＜t≤

时，S=-

t²+8t-16，当

＜t＜8时，S=

t²-12t+48；
（2）存在，当点D在线段AB上时，求出QD=PD=t，PD=2t，过点A作AH⊥BC于点H，PH=BH-BP=4-t，在Rt△APH中求出AP=

AH2+PH2

t2-8t+32

，（ⅰ）若AP=PQ，则有

t2-8t+32

=2t，（ⅱ）若AQ=PQ，过点Q作QG⊥AP于点G，根据△PGQ∽△AHP求出PG=

t2-8t+32

，若AQ=PQ，得出

t2-8t+32

．（ⅲ）若AP=AQ，过点A作AT⊥PQ于点T，得出4=

×2t，求出方程的解即可；
（3）四边形PMAN的面积不发生变化，连接AP，此时t=4秒，求出S_{四边形PMAN}=S_△APM+S_△APN=S_△CPN+S_△APN=S_△ACP=

×CP×AP=8．

解答：解：（1）当0＜t≤4时，S=

t²，
当4＜t≤

时，S=-

t²+8t-16，
当

＜t＜8时，S=

t²-12t+48；

（2）存在，理由如下：
当点D在线段AB上时，

∵AB=AC，
∴∠B=∠C=

（180°-∠BAC）=45°．
∵PD⊥BC，
∴∠BPD=90°，
∴∠BDP=45°，
∴PD=BP=t，
∴QD=PD=t，
∴PQ=QD+PD=2t．
过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，
∴BH=CH=

BC=4，AH=BH=4，
∴PH=BH-BP=4-t，
在Rt△APH中，AP=

AH2+PH2

t2-8t+32

；
（ⅰ）若AP=PQ，则有

t2-8t+32

=2t．
解得：t₁=

-4

，t₂=

-4

（不合题意，舍去）；
（ⅱ）若AQ=PQ，过点Q作QG⊥AP于点G，如图（1），

∵∠BPQ=∠BHA=90°，
∴PQ∥AH．
∴∠APQ=∠PAH．
∵QG⊥AP，
∴∠PGQ=90°，
∴∠PGQ=∠AHP=90°，
∴△PGQ∽△AHP，
∴

，即

t2-8t+32

，
∴PG=

t2-8t+32

，
若AQ=PQ，由于QG⊥AP，则有AG=PG，即PG=

AP，
即

t2-8t+32

．
解得：t₁=12-4

，t₂=12+4

（不合题意，舍去）；
（ⅲ）若AP=AQ，过点A作AT⊥PQ于点T，如图（2），

易知四边形AHPT是矩形，故PT=AH=4．
若AP=AQ，由于AT⊥PQ，则有QT=PT，即PT=

PQ，
即4=

×2t．解得t=4．
当t=4时，A、P、Q三点共线，△APQ不存在，故t=4舍去．
综上所述，存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形，即t₁=

-4

秒或t₂=（12-4

）秒；

（3）四边形PMAN的面积不发生变化．理由如下：
∵等腰直角三角形PQE，
∴∠EPQ=45°，
∵等腰直角三角形PQF，
∴∠FPQ=45°．
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=45°+45°=90°，
连接AP，如图（3），

∵此时t=4秒，
∴BP=4×1=4=

BC，
∴点P为BC的中点．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AP⊥BC，AP=

BC=CP=BP=4，∠BAP=∠CAP=

∠BAC=45°，
∴∠APC=90°，∠C=45°，
∴∠C=∠BAP=45°，
∵∠APC=∠CPN+∠APN=90°，
∠EPF=∠APM+∠APN=90°，
∴∠CPN=∠APM，
∴△CPN≌△APM，
∴S_△CPN=S_△APM，
∴S_{四边形PMAN}=S_△APM+S_△APN=S_△CPN+S_△APN=S_△ACP=

×CP×AP=

×4×4=8．
∴四边形PMAN的面积不发生变化，此定值为8．

点评：本题考查了三角形面积，相似三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形等知识点的综合运用，用了分类讨论思想和方程思想，难度偏大．

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