Question

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-2x+1与坐标轴分别交于A，B两点，与直线y=x+a交于点D，点B绕点A顺时针旋转90°的对应点C恰好落在直线y=x+a上．
（1）求直线CD的表达式；
（2）若点E在y轴上，且△CDE的周长最小，求点E的坐标；
（3）点F是直线y=-2x+1上的动点，G为平面内的点，若以点C，D，F，G为顶点的四边形是菱形，请直接写出点G的坐标．

Answer 1

分析 （1）由△ABO≌△CAE，可得CE=OA=$\frac{1}{2}$，AE=OB=1，推出C（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），把C（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）代入y=x+a，得到$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$+a，推出a=-1即可解决问题；
（2）如图2中，作D关于y轴的对称点D′，连接CD′交y轴于E，此时△CDE的周长最小．求出直线CD′的解析式即可解决问题；
（3）分三种情形①如图3中，当DF为菱形对角线时．②如图4中，当AC为菱形的对角线时，③如图5中，当CF为菱形的对角线时，分别求解即可；

解答 解：（1）如图1中，连接AC，作CE⊥x轴于E．

∵∠BAC=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，∠BAO+∠CAE=90°，
∴∠ABO=∠CAE，∵AB=OC，∠AOB=∠CEA=90°，
∴△ABO≌△CAE，
∴CE=OA=$\frac{1}{2}$，AE=OB=1，
∴C（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
把C（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）代入y=x+a，得到$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$+a，
∴a=-1，
∴直线CD的解析式为y=x-1．

（2）如图2中，作D关于y轴的对称点D′，连接CD′交y轴于E，此时△CDE的周长最小．

由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-2x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$），D′（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
∴直线CD′的解析式为y=$\frac{5}{13}$x-$\frac{1}{13}$，
∴E（0，-$\frac{1}{13}$）．

（3）如图3中，

①如图3中，当DF为菱形对角线时，∵四边形DCFG是菱形，
∴C、G关于AB对称，易求直线CG的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}\\{y=-2x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴G与C关于（$\frac{1}{2}$，0）对称，可得G（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
②如图4中，当AC为菱形的对角线时，F、G关于CD对称，求出线段CD的垂直平分线，同法可得G（$\frac{7}{3}$，-$\frac{7}{6}$）．
③如图5中，当CF为菱形的对角线时，可得G（$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{10}}{6}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{10}}{3}$）或$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{10}}{6}$，$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{10}}{3}$）．
综上所述，满足条件的点G坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）或（$\frac{7}{3}$，-$\frac{7}{6}$）或（$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{10}}{6}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{10}}{3}$）或$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{10}}{6}$，$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{10}}{3}$）．

点评 本题考查一次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．