Question

16．如图，AB为直径，PB为切线，点C在⊙O上，AC∥OP，连接OP，交⊙O点D，交BC于点H，过D点作DE⊥AB，E为垂足，交BC于点F，连AD交BC于G
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）证明：CG=2EF；
（3）若CG=3，DE=4，连接BD，求$\frac{DG}{DB}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接CO，如图1，易证∠COD=∠DOB，从而可证到△COP≌△BOP，则有∠OCP=∠OBP．根据切线的性质可得∠OBP=90°，即可得到∠OCP=90°，从而可得PC为⊙O的切线；
（2）如图2中，连接BD、OF．先证明OF是△AGB的中位线，再证明△OEF∽△ACG，得$\frac{CG}{EF}$=$\frac{AG}{OF}$=2，由此解决即可问题．
（3）如图3中，连接OC，BD，设OD与BC交于点H，如图2，根据等腰三角形的性质可得OH⊥BC，CH=BH，运用面积法可得BH=DE=4，就可求出CH，GH，BG．易证△GHD∽△GDB，运用相似三角形的性质可求出DG，然后运用勾股定理可求出DB，就可求出$\frac{DG}{DB}$；

解答 解：（1）连接CO，如图1，

∵AC∥OP，
∴∠OAC=∠DOB，∠OCA=∠COD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠COD=∠DOB．
在△COP和△BOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠COP=∠BOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△COP≌△BOP，
∴∠OCP=∠OBP．
∵AB为⊙O的直径，PB为切线，
∴∠OBP=90°，
∴∠OCP=90°，
∴PC为⊙O的切线；

（2）如图2中，连接BD、OF．

∵PB、PC是⊙O切线，
∴PB=PC，∠CPO=∠BPO，
∴OP垂直平分BC，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠CAD=∠DAB=∠CBD，
∵∠DAB+∠ABD=90°，∠EDB+∠ABD=90°，
∴∠DAB=∠BDF，
∴∠FDB=∠FBD，．
∵∠FGD+∠GBD=90°，∠FDG+∠BDF=90°，
∴∠FGD=∠FDG，
∴FD=FG=FB，
∵OA=OB，
∴FO∥AG，OF=$\frac{1}{2}$AG，
∴∠FOE=∠GAB=∠CAG，∠ACG=∠OEF=90°，
∴△OEF∽△ACG，
∴$\frac{CG}{EF}$=$\frac{AG}{OF}$=2，
∴CG=2EF．

（3）连接OC，BD，设OD与BC交于点H，如图3，

∵OC=OB，∠COD=∠BOD，
∴OH⊥BC，CH=BH，
∴S_△OBD=$\frac{1}{2}$OD•BH=$\frac{1}{2}$OB•DE．
∵OB=OD，
∴BH=DE=4，
∴CH=BH=4．
∵CG=3，
∴GH=1，BG=5．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DHG=∠GDB=90°．
又∵∠DGH=∠BGD，
∴△GHD∽△GDB，
∴$\frac{DG}{BG}$=$\frac{GH}{DG}$，
∴DG²=GH•BG=1×5=5，
∴DG=$\sqrt{5}$．
∴DB=$\sqrt{B{G}^{2}-D{G}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{DG}{DB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、圆周角定理、三角函数的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，添加辅助线构造三角形中位线是解决第（2）小题的关键，利用面积法求出BH的长是解决第（3）小题的关键．