Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F，BD=BF．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BC=12，AD=8，求

DE

的长．

Answer 1

考点：切线的判定,弧长的计算

专题：证明题

分析：（1）连结OE、BE，由BD为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠BED=90°，由于BD=BF，根据等腰三角形的性质得DE=EF，可得OE为△DBF的中位线，所以OE∥BF，由于∠ACB=90°，则∠OEA=90°，然后根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则BD=2R，OE=R，利用OE∥BC可判断△AOE∽△ABC，根据相似比可得

R+8

2R+8

=

R

12

，解得R₁=8，R₂=-6（舍去），则AO=AD+OD=16，OE=8，在Rt△AOE中，利用余弦的定义和特殊角的三角函数值得到∠AOE=60°，然后根据弧长公式计算

DE

的长度．

解答：（1）证明：连结OE、BE，如图，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BED=90°，
∴BE⊥DF，
∵BD=BF，
∴DE=EF，
而OD=OB，
∴OE为△DBF的中位线，
∴OE∥BF，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，则BD=2R，OE=R，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴

AO

AB

=

OE

BC

，即

R+8

2R+8

=

R

12

，解得R₁=8，R₂=-6（舍去），
∴AO=AD+OD=16，OE=8，
在Rt△AOE中，cos∠AOE=

8

16

=

1

2

，
∴∠AOE=60°，
∴

DE

的长度=

60•π•8

180

=

8

3

π．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和弧长公式．