Question

有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用x₁,y₁顺次表示第1号选手胜与负的场数，用x₂,y₂顺次表示第2号选手胜与负的场数，……用x₁₀,y₁₀顺次表示第10号选手胜与负的场数.则10名选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和相等，即

x₁²+x₂²+…+x₁₀²=y₁²+y₂²+…+y₁₀²,为什么？

Answer 1

由题意知x_i+y_i=9(i=1、2、3、…10)且x₁+x₂+…+x₁₀=y₁+y₂+…+y₁₀

(x₁²+x₂²+…+x₁₀²)－(y₁²+y₂²+…+y₁₀²)

=(x₁²－y₁²)+(x₂²－y₂²)+…+(x₁0²－y₁₀²)

=(x₁+y₁)(x₁－y₁)+(x₂+y₂)(x₂－y₂)+…+(x₁₀+y₁₀)(x₁₀－y₁₀)

=9［(x₁－y₁)+(x₂－y₂)+(x₃－y₃)+…+(x₁₀－y₁₀)］

=9［(x₁+x₂+…+x₁₀)－(y₁+y₂+…+y₁₀)］

=0

所以，x₁²+x₂²+…+x₁₀²=y₁²+y₂²+…+y₁₀².