Question

12．如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=12cm，∠B=90°．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动时间为t（s）．
（1）当t=4时，求△PBQ的面积；
（2）当t为多少时，四边形APQC的面积最小？最小面积是多少？
（3）当t为多少时，△PQB与△ABC相似．

Answer 1

分析 （1）当t=4时，可求得AP、BQ，则可求得PB，利用三角形的面积可求得答案；
（2）可用t分别表示出AP、BQ，则可表示出PB，则可用t表示出四这形APQC的面积，利用二次函数的性质可求得答案；
（3）由于两三角形都是直角三角形，所有分两种情况分别利用相似三角形的对应边成比例可得到关于t的方程，可求得答案．

解答 解：（1）当t=4时，AP=4，BQ=8，
∴PB=AB-AP=6-4=2，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}BP•BQ=8$（cm²）； 
（2）∵AP=t，BQ=2t，PB=6-t，
∴S_{四边形APQC}=S_△ABC-S_△PBQ=$\frac{1}{2}$AB•BC-$\frac{1}{2}$BP•BQ=$\frac{1}{2}$×6×12-$\frac{1}{2}$（6-t）2t=36-t（6-t）=t²-6t-36=（t-3）²+27，
∵S_{四边形APQC}是关于t的二次函数，且开口向下，
∴当t=3时，S_{四边形APQC}有最小值27cm²；
（3）∵△PQB、△ABC是直角三角形，
∴当△PQB与△ABC相似时有两种情况，即$\frac{AB}{BP}$=$\frac{BC}{BQ}$或$\frac{AB}{BQ}$=$\frac{BC}{BP}$，
当$\frac{AB}{BP}$=$\frac{BC}{BQ}$时，则有$\frac{6}{6-t}$=$\frac{12}{2t}$，解得t=3；
当$\frac{AB}{BQ}$=$\frac{BC}{BP}$时，则有$\frac{6}{2t}$=$\frac{12}{6-t}$，解得t=1.2；
∴当t=1.2或t=3时，△PQB与△ABC相似．

点评 本题为相似三角形的综合应用，涉及三角形的面积、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质及分类讨论思想．在（1）中只要求得BP、BQ的长即可，在（2）中用t表示出四边形APQC的面积是解题的关键，注意二次函数最值的求法，在（3）中分两种情况进行求解是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．