Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为坐标原点．

(1)已知点A(3，1)，连接OA，平移线段OA，使点O落在点B.设点A落在点C，作如下探究：

探究一：若点B的坐标为(1，2)，请在图①中作出平移后的图形，则点C的坐标是______；连接AC、BO，请判断O、A、C、B四点构成的图形的形状，并说明理由；

探究二：若点B的坐标为(6，2)，如图②，判断O、A、B、C四点构成的图形的形状．

(2)通过上面的探究，请直接回答下列问题：

①若已知三点A（a，b）、B（c，d）、C（a+c，b+d）(点A、B、C都不与原点O重合)，顺次连接点O、A、C、B，请判断所得图形的形状；

②在①的条件下，如果所得图形是菱形或者正方形，请选择一种情况，写出a、b、c、d应满足的关系式．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）由题意和图象可知：OA应该右移三个单位，上移两个单位后得出的C因此，C的坐标是（4，3）．因为是平移所以AO=BC，AO∥BC，所以四边形OACB是平行四边形．当B是（6，2）的时候，OAB三点在直线y=x上，因此OABC是条线段．

（2）①同（1）应该是平行四边形或线段两种情况．

②当OACB是菱形时，两条邻边应该相等，AC=BC，因此=，因此a2+b2=c2+d2，当OACB是正方形的时候．如果过B作BE⊥x轴，过A作AF⊥x轴，那么三角形BOE≌三角形AOF．AF=OE，OF=BE，即A点的横坐标的绝对值=B点的横坐标的绝对值，A点的纵坐标的绝对值=B点的纵坐标的绝对值，即a=d且b=-c或b=c且a=-d．

试题分析：(1)探究一：作图如下：

．

点C（4，3）

四边形OACB为平行四边形．理由如下：

由平移可知，OA∥BC，且OA＝BC，

所以四边形OACB为平行四边形．

探究二：线段．

(2)①平行四边形或线段．

②菱形：a2＋b2＝c2＋d2.

正方形：a＝d且b＝－c或b＝c且a＝－d.