Question

16．如图，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连接BE、CE．
（1）若a=5，sin∠ACB=$\frac{5}{13}$，解答下列问题：
①填空：b=12；
②当BE⊥AC时，求出此时AE的长；
（2）设AE=x，试探索点E在线段AD上运动过程中，使得△ABE与△BCE相似时，求a，b应满足什么条件，并求出此时x的值．

Answer 1

分析 （1）①在矩形ABCD中，得到∠ABC=90°，解直角三角形即可得到结果；
②如图1，由BE⊥A，得到∠2+∠3=90°，由于∠1+∠3=90°，等量代换得到∠1=∠2，推出△AEB∽△BAC，得到比例式，即可得到结论；
（2）点E在线段AD上的任一点，且不与A、D重合，当△ABE与△BCE相似时，则∠BEC=90°当△BAE∽△CEB（如图2），∠1=∠BCE，又BC∥AD，由平行线的性质得到∠2=∠BCE，推出△BAE∽△EDC，得到比例式$\frac{x}{a}=\frac{a}{b-x}$，得到一元二次方程x²-bx+a²=0，根据方程根的情况，得到结论．

解答 解：（1）①∵在矩形ABCD中，
∴∠ABC=90°，
∵AB=a=5，sin∠ACB=$\frac{5}{13}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{5}{13}$，
∴AC=13，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=12，
∴b=12；
故答案为：12；
②如图1，∵BE⊥AC，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
又∵∠BAE=∠ABC=90°，
∴△AEB∽△BAC，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{BC}$，
即$\frac{AE}{5}=\frac{5}{12}$，
∴$AE=\frac{25}{12}$；

（2）∵点E在线段AD上的任一点，且不与A、D重合，
∴当△ABE与△BCE相似时，则∠BEC=90°，
当△BAE∽△CEB（如图2）
∴∠1=∠BCE，
又∵BC∥AD，
∴∠2=∠BCE，
∴∠1=∠2，
又∵∠BAE=∠EDC=90°，
∴△BAE∽△EDC，
∴$\frac{AE}{DC}=\frac{AB}{DE}$，
即$\frac{x}{a}=\frac{a}{b-x}$，
∴x²-bx+a²=0，
即${（x-\frac{b}{2}）^2}=\frac{{{b^2}-4{a^2}}}{4}$，
当b²-4a²≥0，
∵a＞0，b＞0，∴b≥2a，
即b≥2a时，$x=\frac{{b±\sqrt{{b^2}-4{a^2}}}}{2}$．
综上所述：当a、b满足条件b=2a时△BAE∽△CEB，此时$x=\frac{1}{2}b$（或x=a）；当a、b满足条件b＞2a时△BAE∽△CEB，此时$x=\frac{{b±\sqrt{{b^2}-4{a^2}}}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，一元二次方程根的情况，注意分类讨论思想的应用．