Question

3．如图，已知在△ABC中，∠CAE=∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．
（1）求证：AC=BD；
（2）若BD=3，AD=5，AE=x，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）延长AE到F，使EF=EA，连接DF，得到△DEF≌△CEA，根据全等三角形的性质得到AC=FD，根据等腰三角形的性质得到∠AFD=∠CAE，推出△ABD≌△AFD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AB=AF，根据三角形的三边关系列不等式组即可得到结论．

解答 （1）证明：延长AE到F，使EF=EA，连接DF，
∵点E是CD的中点，
∴EC=ED，
在△DEF与△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=EA}\\{∠DEF=∠CEA}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CEA，
∴AC=FD，
∴∠AFD=∠CAE，
∵∠CAE=∠B，
∴∠AFD=∠B，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠FAD，
在△ABD与△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠FAD}\\{AD=AD}\\{∠B=∠AFD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AFD，
∴BD=FD，
∴AC=BD；

（2）解：由（1）证得△ABD≌△AFD，△DEF≌△CEA，
∴AB=AF，
∵AE=x，
∴AF=2AE=2x，
∴AB=2x，
∵BD=3，AD=5，
∴在△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{3+5＞2x}\\{3+2x＞5}\\{5+2x＞3}\end{array}\right.$，
解得：1＜x＜4，
∴x的取值范围是1＜x＜4．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的定义，线段中点的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．