Question

已知：在锐角△ABC中，AB=AC．D为底边BC上一点，E为线段AD上一点，且∠BED=∠BAC=2∠DEC，连接CE．
（1）求证：∠ABE=∠DAC；
（2）若∠BAC=60°，试判断BD与CD有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（3）若∠BAC=α，那么（2）中的结论是否还成立．若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据外角的性质，推出∠BED=∠ABE+∠BAE，由∠BAC=∠BAE+∠DAC，根据∠BED=∠BAC进行等量代换即可；
（2）在AD上截取AF=BE，连接CF，作CG∥BE交直线AD于G，∠BED=∠BAC，结合（1）所推出的结论，求证△ACF≌△BAE，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理推出∠CFG=180°-∠AFC=180°-∠BEA=∠BED，由CG∥BE，可得∠CGF=∠BED，BD：CD=BE：CG，继而推出∠CFG=∠CGF，即CG=CF，通过等量代换可得BE=AF=2CF，把比例式中的BE、CG用2CF、CF代换、整理后即可推出BD=2DC，总上所述BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关；
（3）根据（2）所推出的结论即可推出若∠BAC=α，那么（2）中的结论仍然还成立．

解答：（1）证明：∵∠BED=∠ABE+∠BAE，∠BED=∠BAC，
∴∠ABE+∠BAE=∠BAC，
∵∠BAC=∠BAE+∠DAC，
∴∠DAC=∠ABE；

（2）解：在AD上截取AF=BE，连接CF，作CG∥BE交直线AD于G，∠BED=∠BAC，
∵∠FAC=∠EBA，
∴在△ACF和△BAE中，

CA=AB ∠FAC=∠EBA AF=BE

，
∴△ACF≌△BAE（SAS），
∴CF=AE，∠ACF=∠BAE，∠AFC=∠AEB．
：∵∠AFC=∠BEA
∴180°-∠AFC=180°-∠BEA
∴∠CFG=∠BEF，
∴∠CFG=180°-∠AFC=180°-∠BEA=∠BED，
∵CG∥BE，
∴∠CGF=∠BED，
∴∠CFG=∠CGF，
∴CG=CF，
∵∠BED=2∠DEC，
∵∠CFG=∠DEC+∠ECF，∠CFG=∠BED，
∴∠ECF=∠DEC，
∴CF=EF，
∴BE=AF=2CF，
∵CG∥BE，
∴BD：CD=BE：CG，
∴BD：CD=2CF：CF=2，
∴BD=2DC，
∴BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关；

（3）解：∵BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关，
∴若∠BAC=α，那么（2）中的结论仍然还成立．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，关键在于正确地作出辅助线，求证相关的三角形全等，认真地进行等量代换．