Question

【题目】已知，是的直径，、是上的点，连接、、，是的切线，过点作.

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若，连接，延长交于，连接，若，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）如图1，连接BF，根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据圆周角定理得到∠AFB=90°，推出∠ABF=∠DAF，等量代换即可得到结论；

（2）如图2，连接OF，OC，根据全等三角形的性质得到∠OFC=∠ABC=90°，∠BOC=∠FOC，推出∠BAG=∠BOC，得到四边形ABCD是正方形，于是得到AB=CD，∠D=90°，AB∥CD，根据全等三角形的性质得到AD=BC=4，DG=BO=2，根据勾股定理得到AG=．

（1）证明：如图1，连接BF，

∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，

∴∠ABC=90°，

∵AD∥BC，

∴∠DAB=90°，

∴∠DAF+∠BAF=90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，

∴∠ABF+∠BAF=90°，

∴∠ABF=∠DAF，

∵∠AEF=∠ABF，

∴∠AEF=∠DAF；

（2）解：如图2，连接OF，OC，

在△CBO与△CFO中，

OB＝OF,

BC＝FC,

OC＝OC，

∴△CBO≌△CFO（SSS），

∴∠OFC=∠ABC=90°，∠BOC=∠FOC，

∵OA=OF，

∴∠OAF=∠OFA，

∵∠OAF=，∠BOC=，

∴∠OAF=∠BOC，

∵AD=BC，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是正方形，

∴AB=CD，∠D=90°，AB∥CD，

∴∠BAG=∠DGA=∠BOC，

在△ADG与△CBO中，

∠ABC＝∠D,

∠BOC＝∠AGD,

BC＝AD，

∴△ADG≌△CBO（AAS），

∴AD=BC=4，DG=BO=2，

∴AG=．