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    1．已知：抛物线y=mx2+（2m+2）x+m+2与x轴交于点A、B （A左B右），其中点B的坐标为（7，0），设抛物线的顶点为C．

    （1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
    （2）如图1，若AC交y轴于点D，过D点作DE∥AB交BC于E．点P为DE上一动点，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G．设点P的横坐标为a，四边形CFPG的面积为y，求y与a的函数关系式和y的最大值；
    （3）如图2，在条件（2）下，过P作PH⊥x轴于点H，连结FH、GH，是否存在点P，使得△PFH与PHG相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

    分析 （1）将B（7，0）代入y=mx2+（2m+2）x+m+2，得到49m+7（2m+2）+m+2=0，解方程求出m的值，求得抛物线的解析式，再利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出顶点C的坐标；
    （2）先求出A点坐标，利用两点间的距离公式得到AC2=32，BC2=32，AB2=82=64，那么△ABC是等腰直角三角形，得到∠CAB=∠CBA=45°，∠C=90°，OD=OA=1，AD=$\sqrt{2}$，CD=AC-AD=3$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$CD=6．再证明△PDF，△PEG，△DEC都是等腰直角三角形，四边形CFPG是矩形．由DP=a，PE=DE-DP=6-a，求出PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，PG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6-a），然后根据矩形CFPG的面积=PF•PG，即可得到y与a的函数关系式，再根据二次函数的性质求出y的最大值；
    （3）先由∠FPH=∠GPH=90°+45°=135°，可知当△PFH与△PHG相似时，分两种情况进行讨论：①△PFH∽△PHG；②△PFH∽△PGH．根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出a的值，进而得到P点坐标．

    解答 解：（1）∵抛物线y=mx2+（2m+2）x+m+2与x轴交于点B（7，0），
    ∴49m+7（2m+2）+m+2=0，
    解得m=-$\frac{1}{4}$，
    ∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+$\frac{7}{4}$，
    ∵y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+$\frac{7}{4}$=-$\frac{1}{4}$（x2-6x+9）+$\frac{9}{4}$+$\frac{7}{4}$=-$\frac{1}{4}$（x-3）2+4，
    ∴顶点C的坐标为（3，4）；

    （2）∵y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+$\frac{7}{4}$，
    ∴当y=0时，-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+$\frac{7}{4}$=0，
    解得x1=-1，x2=7，
    ∵B（7，0），
    ∴A（-1，0）．
    ∵AC2=（3+1）2+42=32，BC2=（3-7）2+42=32，AB2=82=64，
    ∴AC=BC=4$\sqrt{2}$，AC2+BC2=AB2，
    ∴△ABC是等腰直角三角形，
    ∴∠CAB=∠CBA=45°，∠C=90°，
    ∴OD=OA=1，AD=$\sqrt{2}$，CD=AC-AD=3$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$CD=6．
    ∵DE∥AB，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
    ∴△PDF，△PEG，△DEC都是等腰直角三角形，四边形CFPG是矩形．
    ∵DP=a，PE=DE-DP=6-a，
    ∴PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，PG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6-a）．
    ∵矩形CFPG的面积=PF•PG，
    ∴y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a•$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6-a）=-$\frac{1}{2}$a2+3a，
    即y与a的函数关系式为y=-$\frac{1}{2}$a2+3a，
    当x=$\frac{-3}{2×（-\frac{1}{2}）}$=3时，y有最大值=$\frac{4×（-\frac{1}{2}）×0-{3}^{2}}{4×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{9}{2}$；

    （3）∵∠FPH=∠GPH=90°+45°=135°，
    ∴当△PFH与△PHG相似时，可分两种情况进行讨论：
    ①如果△PFH∽△PHG，那么$\frac{PF}{PH}$=$\frac{PH}{PG}$，即$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{1}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}（6-a）}$，
    解得a=3±$\sqrt{7}$，
    所以P点坐标为P1（3+$\sqrt{7}$，1），P2（3-$\sqrt{7}$，1）；
    ②如果△PFH∽△PGH，那么$\frac{PF}{PG}$=$\frac{PH}{PH}$，即$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{\sqrt{2}}{2}（6-a）}$=1，
    解得a=3，
    所以P点坐标为P3（3，1）．
    综上所述，所求P点坐标为P1（3+$\sqrt{7}$，1），P2（3-$\sqrt{7}$，1），P3（3，1）．

    点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的性质，两点间的距离公式，平行线的性质，等腰直角三角形、矩形、相似三角形的判定与性质等知识，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

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