Question

【题目】如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在圆上，连接AE，AE与BD相交于点F．

(1)求证：AE=AB；

(2)若E为弧BD的中点，试说明：DE2=EF·AE；

(3)在(2)的条件下，若cos∠ADB=，BE=2，求AF的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) AF=3.

【解析】

（1）先根据翻折的性质和圆周角定理得出∠C=∠AED=∠ABC和AC=AE再推出AC=AB，从而得到AE=AB；

（2）根据E为弧BD的中点和圆周角定理得出∠DAE=∠EDB，然后证明△DEF∽△AED；

（3）作AH⊥BE，利用三角函数求出AE=4，利用（2）相似线段关系求出EF=1，从而得出：AF=3.

（1）由折叠的性质可知△ADE≌△ADC

∴∠AED=∠ACD，AE=AC，

∵∠ABD=∠AED，

∴∠ABD=∠ACD，

∴AB=AC，

∴AE=AB；

（2）∵E为弧BD的中点

∴∠DAE=∠EAB

∵∠EDB=∠EAB

∴∠DAE=∠EDB

∴△DEF∽△AED

∴

∴

（3）过A作AH⊥BE于点H

∵AB=AE，BE=2，

∴BH=EH=1，

∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，，

∴，

∴．

∴AC=AB=4

∵E为弧BD的中点

∴DE=EB=2

根据（2）中的结论

可得：

∴EF=1

∴AF=AE-EF=3