Question

13．用四条长度分别为1、2、3、4的线段围成的梯形的面积为$\frac{10\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 首先分析梯形的底和腰的长度分别是什么．如图，平移AB至DE，根据三角形三边关系讨论△CDE三边的取值可能性，确定梯形的底和腰的长度．经探究只有底为1和4，腰为3和4成立．再在△CDE中运用等积法求梯形的高后求面积．

解答 解：根据题意，梯形的两底长分别为2cm和5cm，腰分别为3cm和4cm，如图所示，AD=，BC=4，AB=2，CD=3．作DE∥AB于点E，CF⊥ED于F，DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．
∴DE=AB=2，BE=AD=1，EC=4-1=3．
∴DC=EC．即△CDE为等腰三角形．
∵CF⊥ED，ED=2，
∴DF=1．∴CF=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
S_△CDE=$\frac{1}{2}$CD•EF=$\frac{1}{2}$EC•DH，
即2×2$\sqrt{2}$=3×DH，
∴DH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
所以梯形面积=$\frac{1}{2}$×（1+4）×$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$．
故答案为$\frac{10\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了梯形，难度较大，因不知道各边长度，所以须先探究，确定图形的大致情形；求梯形高运用了等积法，这是解决有关高的问题时常用的方法．平移梯形的腰，把梯形转化为平行四边形和三角形，是解决梯形问题时常作的辅助线．