Question

20．如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC=3，AB=4，以BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F．交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求sinE的值．

Answer 1

分析 （1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；
（2）根据∠E=∠CBG，可以把求sin∠E的值得问题转化为求sin∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题．

解答 （1）证明：连接OD，如图1所示：
∵AC=BC，OB=OD，
∴∠A=∠ABC=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴直线EF是⊙O的切线；
（2）解：连BG、CD．如图2所示：
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，∠BGC=90
∴∠CDA=90°，
∵OD∥AC，OB=OC，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AB•CD=2S_△ABC=AC•BG，
∴BG=$\frac{AB•CD}{AC}$=$\frac{4×\sqrt{5}}{3}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴CG=$\sqrt{B{C}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{4\sqrt{5}}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF．
∴∠E=∠CBG，
∴sin∠E=sin∠CBG=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{\frac{1}{3}}{3}$=$\frac{1}{9}$．

点评 本题主要考查了切线的判定、勾股定理、平行线的判定与性质、三角形面积的计算、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定与构造直角三角形是解决问题的关键．