Question

【题目】问题提出；

（1）如图1，矩形ABCD，AB＝4，BC＝8，点E为CD的中点，点P为BC上的动点，CP＝　 　时，△APE的周长最小．

（2）如图2，矩形ABCD，AB＝4，BC＝8，点E为CD的中点，点P、点Q为BC上的动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，请确定点P的位置（即BP的长）

问题解决；

（3）如图3，某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部（不包括边界）点P处修一个凉亭，设计要求PA长为100米，同时点M，N分别是水域AB，AC边上的动点，连接P、M、N的水上浮桥周长最小时，四边形AMPN的面积最大，请你帮忙算算此时四边形AMPN面积的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）BP＝4；（3）平方米．

【解析】

（1）延长AB到M，使BM=AB，则A和M关于BC对称，连接EM交BC于P，此时AP+EP的值最小，根据勾股定理求出AE长，根据矩形性质得出AB∥CD，推出△ECP∽△MBP，得出比例式，代入即可求出CP长；

（2）点A向右平移2个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，证△MNQ∽△FCQ即可求BP的长；

（3）作点P关于AB的对称点G，作点P关于AC的对称点H，连接GH，交AB，AC于点M，N，此时△PMN的周长最小．S四边形AMPN=S△AGM+S△ANH=S△AGH-S△AMN，即S△AMN的值最小时，S四边形AMPN的值最大．

解：（1）：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝90°＝∠ABC，AB＝CD＝4，BC＝AD＝8，

∵E为CD中点，

∴DE＝CE＝2，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝2，

即△APE的边AE的长一定，

要△APE的周长最小，只要AP+PE最小即可，

延长AB到M，使BM＝AB＝4，则A和M关于BC对称，

连接EM交BC于P，此时AP+EP的值最小，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴△ECP∽△MBP，

∴

∴

∴CP＝

故答案为：

（2）点A向右平移2个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，

此时MQ+EQ最小，

∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝2，

∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，

即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，

∴MN∥CD

∴△MNQ∽△FCQ，

∴

∴

∴NQ＝4

∴BP＝BQ﹣PQ＝4+2﹣2＝4

（3）如图，作点P关于AB的对称点G，作点P关于AC的对称点H，连接GH，交AB，AC于点M，N，此时△PMN的周长最小．

∴AP＝AG＝AH＝100米，∠GAM＝∠PAM，∠HAN＝∠PAN，

∵∠PAM+∠PAN＝60°，

∴∠GAH＝120°，且AG＝AH，

∴∠AGH＝∠AHG＝30°，

过点A作AO⊥GH，

∴AO＝50米，HO＝GO＝50米，

∴GH＝100米，

∴S△AGH＝GH×AO＝2500平方米，

∵S四边形AMPN＝S△AGM+S△ANH＝S△AGH﹣S△AMN，

∴S△AMN的值最小时，S四边形AMPN的值最大，

∴MN＝GM＝NH＝时

∴S四边形AMPN＝S△AGH﹣S△AMN＝2500﹣＝平方米．