Question

6．如图，已知直线l：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线l折叠，点O落在点C处，求直线CA的表达式．

Answer 1

分析 连接OC，过点C作CD⊥OA，垂足为D，先求得OB=$\sqrt{3}$，OA=3，利用特殊锐角三角函数可求得∠BAO=30°，由翻折的性质可得到△COA是等边三角形，然后可求得点C的坐标，最后利用待定系数法求得AC的解析式即可．

解答 解：如图所示：连接OC，过点C作CD⊥OA，垂足为D．

将x=0代入得y=$\sqrt{3}$，
∴点B的坐标为（0，$\sqrt{3}$）．
将y=0代入得：$-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}=0$，解得：x=3．
∴点A的坐标为（3，0）．
∴OB=$\sqrt{3}$，OA=3．
∴tan∠BAO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠BAO=30°．
由翻折的性质可知；∠CAB=∠BAO=30°，OA=CA．
∴∠CAO=60°．
∴△OAC为等边三角形．
∴OC=AC．
∵CD⊥OA，OC=AC，
∴OD=AD=$\frac{3}{2}$．
∴CD=AC•sin60°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴点C的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
设AC的解析式为y=kx+b，将点A、点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{\frac{3}{2}k+b=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴直线AC的表达式为y=-$\sqrt{3}x+3\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、求一次函数的解析式，等腰三角形的性质、等边三角形的判定、特殊锐角三角函数值，求得点C的坐标是解题的关键．