如图.在直角梯形OABC中.OA∥CB.A.B两点的坐标分别为A.动点P.Q分别从O.B出发.点P以每秒2个单位长度的速度沿OA向终点A运动.点Q以每秒1个单位的速度沿BC向终点C运动.当点P停止运动时.点Q也同时停止运动．线段OB.PQ相交于点D.过点D作DE∥OA.交AB于点E.连接QE并延长.交x轴于点F．设动点P.Q的运动时间为t(1)当t为何值时.四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向终点C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，连接QE并延长，交x轴于点F．设动点P、Q的运动时间为t（单位：秒）
（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形？
（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；
（3）是否存在点P，使△PQF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）可通过构建直角三角形来求解．过B作BG⊥OA于G，过Q作QH⊥OA于H．可根据勾股定理，求出AB的值，用t表示出QP，让QP=AB，求出t的值；
（2）有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根据平行线段成比例，可以得出AF，进而求出OF的值，这样就可以求出梯形的面积；
（3）分三种情况进行讨论，让△PQF的三边两两相等，求出t的值，即可解答．

解答解：（1）如图，过B作BG⊥OA于G，

则AB=$\sqrt{B{G}^{2}+A{G}^{2}}=\sqrt{1{2}^{2}+（15-10）^{2}}=\sqrt{169}$=13．
过Q作QH⊥OA于H，
则QP=$\sqrt{Q{H}^{2}+P{H}^{2}}=\sqrt{1{2}^{2}+（10-t-2t）^{2}}$=$\sqrt{144+（10-3t）^{2}}$．
要使四边形PABQ是等腰梯形，则AB=QP，
即$\sqrt{144+（10-3t）^{2}}$=13．
∴t=$\frac{5}{3}$，或t=5（此时PABQ是平行四边形，不合题意，舍去）；
∴t=$\frac{5}{3}$．
（2）当t=2时，OP=4，CQ=10-2=8，QB=2．
∵CB∥DE∥OF，
∴$\frac{QB}{AF}=\frac{QE}{EF}=\frac{QD}{DP}=\frac{QB}{OP}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴AF=2QB=2×2=4．
∴OF=15+4=19．
∴S_梯形OFBC=$\frac{1}{2}$（10+19）×12=174．
（3）①当QP=PF时，则$\sqrt{1{2}^{2}+（10-t-2t）^{2}}$=15+2t-2t，
∴t=$\frac{1}{3}$或t=$\frac{19}{3}$．
∴OP=$\frac{1}{3}×2=\frac{2}{3}$或OP=$\frac{19}{3}×2=\frac{38}{3}$，
∴P（$\frac{2}{3}$，0）或P（$\frac{38}{3}$，0）；
②当QP=QF时，则$\sqrt{1{2}^{2}+（10-t-2t）^{2}}=\sqrt{1{2}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+[15+2t-（10-t）^{2}}$，
即 $\sqrt{1{2}^{2}+（10-3t）^{2}}=\sqrt{1{2}^{2}+（5+3t）^{2}}$，
∴t=$\frac{5}{6}$．
∴OP=$\frac{5}{6}×2=\frac{5}{3}$，
∴P（$\frac{5}{3}$，0）；
③当QF=PF时，则 $\sqrt{1{2}^{2}+（5+3t）^{2}}$=15，
∴t=$\frac{4}{3}$或t=-$\frac{14}{3}$（舍去）．
∴OP=$\frac{4}{3}×2=\frac{8}{3}$，
∴P（$\frac{8}{3}$，0）；
综上，P（$\frac{2}{3}$，0），P（$\frac{38}{3}$，0），P（$\frac{5}{3}$，0），P（$\frac{8}{3}$，0）．

点评本题考查了四边形，解决本题的关键是勾股定理的应用，等腰梯形的判定，等腰三角形的判定要注意的是（3）中要分三种情况进行讨论，不可丢掉任何一种．

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∴∠5=100°
又∵∠2=100°（已知）
∴∠2=∠5（等量代换）
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）
∵∠3=85°（已知）
∴∠4=85°（等量代换）
（2）完成下面推理过程：
如图2，已知∠1=∠2，∠B=∠C，可推得AB∥CD．理由如下：
∵∠1=∠2（已知），
且∠1=∠CGD（对顶角相等），
∴∠2=∠CGD（等量代换）．
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠HFD=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠B=∠C（已知），
∴∠HFD=∠B（等量代换）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

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